• 締切済み

ビリアル定理

ポテンシャルU=ar^n+1のもとでの質点の運動を考えるとき 運動エネルギーの長時間平均Tとポテンシャルエネルギーの長時間平均Uの間にT=(n+1)U/2の関係があることってどうやって示せばいいんですか?ビリアル定理です。

みんなの回答

  • wata717
  • ベストアンサー率44% (72/161)
回答No.1

ランダウ・リフシッツ:力学(1960)東京図書の力学的相似の節を読んでください.

全文を見る
すると、全ての回答が全文表示されます。

関連するQ&A

  • 地球内部の万有引力

    ⅰ)2つの一様な球の間に働く万有引力をポテンシャルより求めよ。 ⅱ)また、仮に地球の中心を通る直径に沿って穴を作り、その中で質点を運動させたとする。質点はどのような運動をするか。ポテンシャルを考え、求めよ。 ⅰについてですが、普通に2点間の質点に働く万有引力を考えて良いのでしょうか?そしてなぜ質点とみなせるのでしょうか?球では半径などが関わってくると思うのですが。 ⅱは運動方程式からならおそらく解けるのですが、ポテンシャルUがどうなるのかが全くわかりません。どういう考え方でいけばいいのでしょうか?

  • 振動の周期

    問題文の中に定義の分からないものがあって困ってます。ご教授お願いします。 振動の周期Tのエネルギー依存性T(E) とはなんですか? 定義を教えてください。 あとできたら普通のバネの振動の場合などで例も教えてもらえるとありがたいです。 自分の持ってる教科書で探したんですが載ってなくて途方にくれてました。 下に一応、その問題文を書きます。 質量mの粒子が、ポテンシャルエネルギーU(x)のもとで、x方向に一次元運動する場合を考える。ポテンシャルは、x=0で最小値をとり、運動は有界である、すなわち、x=0の周りで振動すると仮定する。このとき、振動の周期Tのエネルギー依存性T(E)が分かったときに、ポテンシャルの形を逆算したい。ポテンシャルエネルギーU(x)がxの偶関数であると仮定すると、U(x)の形は、T(x)が分かれば、 x(U)=(1/2πsqrt(2m))∫dET(E)/sqrt(U-E) で与えられることを示せ。

  • PERT と中心極限定理 2

    中心極限定理は、次のような定理だと思います。 平均μ、分散σ2の母集団から無作為にn個の標本を抽出してその平均値mを求めることを繰り返すと、母集団がどのような分布を示す集団であるかに拘わらず、nが充分大きいとき、mの分布は平均μ、分散σ2/nの正規分布で近似される。 次に、PERTにおいて、n個の作業から成るプロジェクトの全体工程Tを求める方法は、一般に次のように説明されています。 作業iの所用時間がベータ分布に従うと仮定すると、その期待値ei、楽観値oi、最可能値mi、悲観値pi、分散σi2の間には次の関係がある。 ei=(oi+4mi+pi)÷6 (式-1) σi2=(pi-oi)2÷36  (式-2) 一般に平均と分散については加法定理が成り立つので、クリティカルパス上のn個の作業の総所要時間(n個の作業の所要時間の合計)Tの期待値eと分散σ2は次のように表される。 e=Σei  (式-3) σ2=Σσi2 (式-4) 中心極限定理により、Tは期待値e、分散σ2の正規分布で近似されるので、今、e=20、σ2=25であるとすると、95%の確率でTが完了する工期は、標準正規分布表の95%点=1.960から、20-1.960×5≦T≦20+1.960×5となる。 それで、次の(1)、(2)が分かりません。 (1)中心極限定理は、「平均μ、分散σ2の母集団から無作為にn個の標本を抽出してその平均値mを求めること」から始まる定理なのに、上記Tを求めた過程には、「平均μ、分散σ2の母集団」も「n個の標本の抽出」も「その平均値m」も、一切何もありません。母集団、抽出、平均値にあたるものは、上記Tを求めた過程のどの値または計算なのでしょうか。 (2)「中心極限定理により、Tは期待値e、分散σ2の正規分布」とありますが、いったいどう考えればTを正規分布であるとみなせるのでしょうか。

  • PERT と中心極限定理

    中心極限定理は、次のような定理だと思います。 平均μ、分散σ2の母集団から無作為にn個の標本を抽出してその平均値mを求めることを繰り返すと、母集団がどのような分布を示す集団であるかに拘わらず、nが充分大きいとき、mの分布は平均μ、分散σ2/nの正規分布で近似される。 次に、PERTにおいて、n個の作業から成るプロジェクトの全体工程Tを求める方法は、一般に次のように説明されています。 作業iの所用時間の期待値ei、楽観値oi、最可能値mi、悲観値pi、分散σi2の間には次の関係がある。 ei=(oi+4mi+pi)÷6 (式-1) σi2=(pi-oi)2÷36  (式-2) 一般に平均と分散については加法定理が成り立つので、クリティカルパス上のn個の作業の総所要時間(n個の作業の所要時間の合計)Tの期待値eと分散σ2は次のように表される。 e=Σei  (式-3) σ2=Σσi2 (式-4) 中心極限定理により、Tは期待値e、分散σ2の正規分布で近似されるので、今、e=20、σ2=25であるとすると、・・・(と来て、Tの確率を求めるのですが、長くなるので以下省略します)。 ここで分からないのは、「中心極限定理により、Tは期待値e、分散σ2の正規分布で近似される」というところです。なぜ、いきなりこんなことが言えるのでしょうか。具体的に分からない点は次の(1)です。 (1)中心極限定理は、「平均μ、分散σ2の母集団から無作為にn個の標本を抽出してその平均値mを求めること」から始まる定理なのに、上記Tを求めた過程には、「平均μ、分散σ2の母集団」も「n個の標本の抽出」も「その平均値m」も、一切何もありません。一体これらは、上記Tにおいては、どこへ行ってしまったのでしょうか。

  • 初歩的な問題だとは思いますが、どのように手をつけたらよいのかわかりませ

    初歩的な問題だとは思いますが、どのように手をつけたらよいのかわかりません。 どなたかご教授お願いいたします。 質量mの質点がx軸上(正)でポテンシャルU=a/x^2-b/x (a,b>0) の力を受け、力学的エネルギーEで運動するとき (1)ポテンシャル曲線の慨形 (2)運動が振動状態になるときのEとxの範囲 (3)そのときの振動周期T

  • エネルギー保存則

    エネルギー保存則 初歩的な問題で申し訳ありません。 ポテンシャルエネルギーU(x)で記述される力場の下でx軸上を運動する物体について考えます。 1.同じポテンシャルエネルギーの下でm1、m2の質量の物体が同一軌道を運動するときの時間比 2.ポテンシャルエネルギーがk倍になった時、同一軌道に沿った運動に要する時間の変化 という問題がうまく理解できません。エネルギー保存則を使うみたいなのですが・・ 1について 質量の違う物体を落としても落下時間は変わらないので時間比は1:1でよいのでしょうか? 2について どうしてよいのかさっぱり・・ どなたかぜひご回答よろしくお願いします。

  • 定理の和訳

    初めて英語のテキストを読み始めました。 数学独特の言い回しが慣れるまでは難しいなあと感じています。 そして、ある定理の一部分の和訳が分からなく、定理の意味が理解できず困っています。 どなたか正しい和訳を教えていただけないでしょうか? 以下がその定理です。 Theorem1. Let λ=n/(2+n(m-1)), If u≧0 belongs to P(T), then, for each t, u(x,t)≦C(t,u)•(1+|x|^2)^(1/(m-1)), where C(t,u)=C(u(0,T))•t^(-λ) as t→0, and C(u(0,T) is a constant which dependsonly on u(0,T), n and m. ポイント的に言うと、 where C(t,u)=C(u(0,T))•t^(-λ) as t→0 の部分の和訳が分かりません。 whereもこの場合はどう訳せばいいのか。。。 どなたかよろしくお願い致します。

  • 単振子の問題(わからないのはポテンシャルです)

    『単振子が滑らかな水平面上にある。支点を半径R、定角速度ωで円運動させたとき、θは単振子と同じ形の運動方程式に従うことを示せ。糸がたわむような運動は考えなくてよい』 (θなんですが、問題の図に書いてあって、  半径Rの円の中心から振子の始点を結んだ直線と、支点と質点mをつなぐ糸がなす角です。  ……わかりにくくてすみません^_^; たぶんθは質問にあまり関係ないと思うので、ここでイメージがわかなくても、最後まで見ていただけると嬉しいです) 私がわからないところは、ポテンシャルだと思います。 [私の解法] 『半径Rの円の中心を原点にして、xy座標をとった場合、質点の位置は x=Rsinωt+Lsin(θ+ωt) y=Rcosωt+Lcos(θ+ωt) (L:糸の長さ) 運動エネルギー T={(dx/dt)^2 + (dy/dt)^2}m/2             ={(ωR)^2 + L^2 (ω+ dθ/dt)^2 + 2ωRL(ω + dθ/dt)cosθ}m/2 ポテンシャル U=0 よって、 ラグランジアン L=T-U={(ωR)^2 + L^2 (ω+ dθ/dt)^2 + 2ωRL(ω + dθ/dt)cosθ}m/2』 と考えたのですが、略解は ラグランジアン L={ L^2 (ω+ dθ/dt)^2 + 2ωRL(ω + dθ/dt)cosθ}m/2 となっています。 運動エネルギーが間違っているとは思えないので、ポテンシャルを0としたのが間違いで、正解は (ωR)^2 m/2 だと思うのですが… ポテンシャルとは何なのでしょうか。 自分は位置エネルギーのことだと思っていたのですが… ご指導、よろしくお願いします。

  • ランダウ「力学」p32の練習問題が解けなくて困っています.

    ランダウ「力学」p32の練習問題が解けなくて困っています. 問題は次の通りです: 次の各ポテンシャル・エネルギーの場の中で,質量mの質点が運動しているとき,その振動の周期をエネルギーの関数として表わせ. (b) U=-U_0/(coshαx)^2, -U_0<E<0 (c) U=U_0(tanαx)^2 それぞれの答えは, (b) T=(π√(2m))/(α√|E|) (c) T=(π√(2m))/(α√|E+U_0|) です. T=2√(2m)∫dx/√(E-U(x)) (積分範囲は0からU=Eの正の解まで)で求めるのだろうと思うのですが,積分が上手く出来ません. 宜しくお願いします.

  • リウビルの定理が感覚的に理解できません

    今読んでいる解析力学のテキストにリウビルの定理というのが でてきました リウビルの定理は、要は ハミルトニアンの位相空間において、 幾つかの初期条件の違う点を代表点として選んだときに、 それらの点が時間経過とともにそれぞれ違った軌跡を描いても 点によって囲まれる領域の面積は不変である ということと理解しました しかし、初期条件の選び方(つまり位相空間内で点のスタートポイントをどこに決めるか)によっては、点の軌跡がそれぞれ定性的に異なることもあるかと思います。例えばある点はポテンシャルに閉じ込められて位相空間内のある箇所をぐるぐる回ったり、またある点は鞍点の流れに乗って遠くへ飛んでいったりと、、、 普通に考えて、一箇所でぐるぐる留まり続ける点と、一方で遠くへ飛んでいってしまう点から囲まれる領域の面積が不変であるはずがないと思うのですが、、飛んでいってしまう限りは点の間の距離が伸びていくと思うので、、 例えば(手元のテキストの問題そのままですが) 外力 F(q) = -q+q^2 のもとで1次元運動を行う質点 のハミルトニアンは H = p^2/2m + (1/2)q^2 - (1/3)q^3 ですが、これの位相平面図は 原点(p=0,q=0)付近ではポテンシャルに囲まれて円を 描いていますが、ポテンシャル極大の外側では 外へ飛ばされるような軌跡になります このような、運動が定性的に異なるような点を代表点として 選んでも、その点によって囲まれる領域は不変というのが 感覚的にどうも納得できません なにか誤解をしていますでしょうか?