単振子の問題（わからないのはポテンシャルです）

質問

『単振子が滑らかな水平面上にある。支点を半径Ｒ、定角速度ωで円運動させたとき、θは単振子と同じ形の運動方程式に従うことを示せ。糸がたわむような運動は考えなくてよい』
（θなんですが、問題の図に書いてあって、
　半径Ｒの円の中心から振子の始点を結んだ直線と、支点と質点ｍをつなぐ糸がなす角です。
　……わかりにくくてすみません^_^;　たぶんθは質問にあまり関係ないと思うので、ここでイメージがわかなくても、最後まで見ていただけると嬉しいです）

私がわからないところは、ポテンシャルだと思います。

[私の解法]
『半径Ｒの円の中心を原点にして、ｘｙ座標をとった場合、質点の位置は
ｘ＝Ｒsinωt+Lsin(θ+ωt)
y＝Ｒcosωt+Lcos(θ+ωt)
（Ｌ：糸の長さ）

運動エネルギー　Ｔ＝{（dx/dt)^2 + (dy/dt)^2}ｍ/2
　　　　　　　　　　　　＝｛(ωＲ)^2 + L^2 (ω+ dθ/dt)^2 + 2ωＲＬ（ω + dθ/dt）cosθ｝ｍ/2
ポテンシャル　Ｕ＝０
よって、
ラグランジアン　Ｌ＝Ｔ－Ｕ＝｛(ωＲ)^2 + L^2 (ω+ dθ/dt)^2 + 2ωＲＬ（ω + dθ/dt）cosθ｝ｍ/2』

と考えたのですが、略解は
ラグランジアン　Ｌ＝｛ L^2 (ω+ dθ/dt)^2 + 2ωＲＬ（ω + dθ/dt）cosθ｝ｍ/2
となっています。
運動エネルギーが間違っているとは思えないので、ポテンシャルを０としたのが間違いで、正解は
(ωＲ)^2 ｍ/2 だと思うのですが…
ポテンシャルとは何なのでしょうか。
自分は位置エネルギーのことだと思っていたのですが…
ご指導、よろしくお願いします。

回答No.3

heboiboro · ベストアンサー

ラグランジアンの定数の部分はあってもなくても同じ（どちらでも正しい運動方程式が得られるということ）なので省いただけだと思います。こういうことは（本によっては）しばしば行われます。

L=T-U という表式は、これに従ってラグランジアンを構成すればとりあえず正しい運動方程式が得られるというだけで、それ以外のラグランジアンでは正しい運動方程式が得られないということは意味しません。一般に正しい運動方程式さえ得られればそれは正しいラグランジアンであるとみなされるので、定数のあるなしはどうでもいいということになります。

ポテンシャル＝位置エネルギーでいいと思います。いまは力は拘束力たる張力しかかかっていないのでポテンシャルエネルギーは0で合ってます。
逆に実際にmω^2R^2/2のポテンシャルがあったとしても、これは定数ですから実質的に何も力が及ぼされないことになり、意味がありません。

回答No.2

eatern27

貴方の求めたものでも略解のものでもラグランジュ方程式を計算すれば同じ運動方程式になるので、略解のラグランジアンが正しいのであれば貴方の求めたラグランジアンでも正しい事になりますよ。

回答No.1

medousa

私の理解ですが、

空間にある閉じた経路を考えます．その経路に沿って物体を動かすと、
物体に力が作用している場合には仕事が発生します。

ポテンシャルエネルギーは、この閉じた経路を一周した場合の仕事が
零になるような力に対して、物体の位置を変化させた場合にどの程度
の仕事が必要になるかを表わしたものと考えられます。

例えば、重力を考えます。空間に（分かりやすいので）正方形の経路を考えると、
重力に垂直な方向では仕事が発生しないので、正方形の一辺をLとすると、
経路を一周するのに必要な仕事は、

　mgL + (-mg) L = 0

となります。したがって、重力はポテンシャルエネルギーを生み出します。
仮に、鉛直方向に、hだけ位置を変えた場合、位置変化による仕事は、

mgh

となります。これが私のポテンシャルエネルギーのイメージです。

今回の場合は、遠心力で、半径方向に一定の力が作用しているとおもいます。
閉じた経路として、半径Rの円を選ぶと、円の中心に対して反対側にある二点
（例えば、０度と１８０度、９０度と２７０度など）では、力の大きさが
等しく、力の方向は逆になります。したがって、この閉じた円を一周すると、
仕事は零になります。したがって、この場合、遠心力はポテンシャルエネルギー
を生み出します。ポテンシャルエネルギーの大きさですが、半径方向に
物体を移動させる事によるエネルギーは，遠心力がmrω^2である事を考慮して，

　　　　P　＝　∫mrω^2 dr = 1/2m（rω）^2 + C

となります．Cは基準点のエネルギーに対応し、この基準点はどこに選んでも
構いません。

以上です。