PERT と中心極限定理

質問

中心極限定理は、次のような定理だと思います。
平均μ、分散σ2の母集団から無作為にn個の標本を抽出してその平均値mを求めることを繰り返すと、母集団がどのような分布を示す集団であるかに拘わらず、nが充分大きいとき、mの分布は平均μ、分散σ2/nの正規分布で近似される。

次に、PERTにおいて、n個の作業から成るプロジェクトの全体工程Tを求める方法は、一般に次のように説明されています。
作業iの所用時間の期待値ei、楽観値oi、最可能値mi、悲観値pi、分散σi2の間には次の関係がある。
ei=(oi+4mi+pi)÷6　（式-1）
σi2=(pi-oi)2÷36　 （式-2）
一般に平均と分散については加法定理が成り立つので、クリティカルパス上のn個の作業の総所要時間（n個の作業の所要時間の合計）Tの期待値eと分散σ2は次のように表される。
e=Σei　 （式-3）
σ2=Σσi2　（式-4）
中心極限定理により、Tは期待値e、分散σ2の正規分布で近似されるので、今、e=20、σ2=25であるとすると、・・・（と来て、Tの確率を求めるのですが、長くなるので以下省略します）。

ここで分からないのは、「中心極限定理により、Tは期待値e、分散σ2の正規分布で近似される」というところです。なぜ、いきなりこんなことが言えるのでしょうか。具体的に分からない点は次の(1)です。

(1)中心極限定理は、「平均μ、分散σ2の母集団から無作為にn個の標本を抽出してその平均値mを求めること」から始まる定理なのに、上記Tを求めた過程には、「平均μ、分散σ2の母集団」も「n個の標本の抽出」も「その平均値m」も、一切何もありません。一体これらは、上記Tにおいては、どこへ行ってしまったのでしょうか。

回答No.1

stomachman · ベストアンサー

●平均と分散が定義できるような分布（有限のoiとpiの間でだけ0でないような分布なら該当します）が沢山あるとして、それらをφj(x)　(j=1,2, …,n)とします。分布φjに従う互いに独立な確率変数Xj (j=1,2,…）を考えたとき、それらの和
C= X1 + X2 + … Xn
の確率密度関数がどうなるかということですね。（ご質問の場合は、n個の工程を含むクリティカルパスで、各工程の納期がXjであり、クリティカルパス全体の納期がCになっている。）

●平均と分散を計算するだけならば、中心極限定理などお呼びでない。
手始めに、二つの確率変数の和
Y = (Xi+Xj)　ただしi≠j
を考えます。Yの確率密度関数をξ(x)とするとき、XiとXjが独立（無相関）であることから、
ξ(x)　= ∫φi(x-t)φj(t) dt　　(∫は-∞～∞の定積分）
となります。この定積分はコンボルーション（畳み込み積）と呼ばれ、
ξ(x)　= φi(x)＊φj(x)
という記号で書かれます。
このとき、φi(x)とφj(x)がどんな関数であろうとも、それぞれの平均Mi, Mjと分散(σi)^2, (σj)^2が存在していさえすれば、ξの平均Mと分散σ^2は
M = Mi + Mj
σ^2 = (σi)^2 +(σj)^2
となることは容易に証明できます。同様にしてCの平均Mcと分散(σc)^2が
Mc = M1+ M2 +　… + Mn
(σc)^2 = (σ1)^2 +(σ2)^2+…+(σn)^2
で計算できることは、中央極限定理を持ち出すまでもなく成り立ちます。
　ちなみに、コンボルーションは「信号φi(x)に平滑化フィルタφj(x)を作用させて得られる信号ξ(x)」を表すと解釈できます。（φj(x)は負の値を取らないので、平滑化フィルタと解釈できるのです。）

●さて、Cの確率密度関数がどうなるかに関しては、ご質問で正しくご指摘の通り、φj(x) (j=1,2,…）が皆異なるのだから、標準的な中心極限定理では片付けられず、φj(x)がどんなものであるかに依存します。
　ところで、ご質問で扱っていらっしゃる理論においては、一つの工程に関しoi,mi,piから平均値や分散が簡単に計算できる公式が与えられているようです。ということは、(oi,mi,pi)という３個のパラメータで完全に決まってしまう具体的な確率密度関数を、その理論は仮定しているに違いありません。
　ならば、その確率密度関数に関する中心極限定理、すなわち「工程iのパラメータ(oi,mi,pi)　(i=1,2,…）が（或る適当な仮定を満たしさえすれば）どんな値であろうとも、Cが正規分布に近づく」を（その理論が自前で）証明しなきゃならんはずです。

　ここで重要になるのは、「（或る適当な仮定を満たしさえすれば）」ってところでしょう。例えば、矩形関数
φj(x) = もし(|x| ＜ wj)なら1/(2wj)、さもなくば0
において、wj= 1/(1000^j)　（ j=1,2,…）だったとしたら、φ1(x)＊φ2(x)＊…を作ってもこりゃ正規分布には到底行きそうにありません。でももしwj (j=1,2,…）がもっとテキトーにばらばらであれば正規分布に行くでしょう。

　ですから、正規分布に近づくためには「φj(x)が或る意味でランダムに選ばれる」という条件が必要だろうと思います。「或る意味で」というのは、例えば「工程iのパラメータ(oi,mi,pi)それ自体が、ある確率モデルに従って分布する確率変数であって、しかも各工程間では独立である」などの前提のことです。（現実のクリティカルパスにおいて一連の工程のパラメータ(oi,mi,pi)が独立とはとても思えないから、これは荒っぽい「例えば」の話です）

●しかしながら、PERTは実用の話です。実用レベルでは「独立な確率変数X1, X2, …について、それぞれが有限の範囲の値をとる確率変数であるなら、nが大きいときCは大抵、正規分布で近似できる（中心極限定理とは違う話だけれど）」と考えて差し支えないでしょう。（差し支える場合もあることは、上に書いた通りですが。）

お礼

御懇切な御回答を賜り、心より厚く御礼申し上げます。素人のため御教示の内容を理解するのに何度も読み返し、参考書を開き、ために御返事がたいへん遅くなりお詫びいたします。

「●平均と分散が...」の段落は、よく分かりました。というか、「えーっ、そんな話だったの」という感じです。一体何を自分がしようとしていたのかがやっと分かりました。

「●平均と分散を...」の段落は、参考書をみて勉強しました。なんとか理解できたと思います。

「●さて、Cの...」の段落については、質問が不十分で申し訳ありません。「一つの工程に関しoi,mi,piから平均値や分散が簡単に計算できる公式」ですが、「各工程の納期Xj」はベータ分布に従うという前提で話は始まっています。ベータ分布に従うので、式-1，式-2のようになると、PERTの教科書には書いてあります（その間の証明は何もありません）。

また、同じくPERTの教科書には、「クリティカルパスにより求める全体工程（御回答で頂いたC）の分布は、中心極限定理（個々の事象の分布を重ね合わせると正規分布に近づく）により正規分布にしたがう」とされています。ここで言う「個々の事象」は各作業の工程Xjだと思うのですが、Xjを「重ね合わせる」とされており、「平均μ、分散σ2の母集団から無作為にn個の標本を抽出して」という中心極限定理の基本部分と全く合いません。

「●しかしながら...」の段落は、全くそのとおりです。実用レベルでの話ですので、理論的にはあるいは少し矛盾があるかもしれません。

それで、少しお尋ねしたいのですが、最初の質問から時間もずいぶん経ったので、スレッドを改めて「PERTと中心極限定理 2」のタイトルで質問させていただきました。お目にとまりましたら、何卒御教示、御指導賜りますようお願い申し上げます。

有り難うございました。