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極限値

極限値の問題です。 lim　log(2＾ⅹ＋3＾ⅹ)/ⅹ　（ⅹ→∞） lim　ⅹlog(ⅹ－a)/(ⅹ＋a)　　(ⅹ→＋∞) lim　(1＋1/x)＾x　　(x→＋0) 答えはそれぞれ、log3、－2a、1、なのですが、何故そうなるのかが分かりません。 よろしくお願いします。

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回答No.1

[解答例] （1）lim　log(2^x＋3^x)/x　（x→∞） （2）lim　xlog(x－a)/(x＋a)　　(x→＋∞) （3）lim　(1＋1/x)＾x　　(x→＋0) とします． (1)は, log(2^x＋3^x)=log[3^x{(2/3)^x+1}]=x・log3 +log{(2/3)^x +1} より，xで割って，x→∞とすると (与式)=lim[log3 +(1/x)log{(2/3)^x +1}]=log3 +0・log(0+1)=log3 (2)は，log(x－a)/(x＋a)=log(1-a/x)/(1+a/x)=log(1-a/x)-log(1+a/x) ここでa/x=tとおくと，x→＋∞　のとき　t→0　で(正確にはaの符号によるが，以下の結果はaの符号によらず成立) (与式)=lim (a/t){log(1-t)-log(1+t)} =lim a[{log(1-t)}/t -{log(1+t)}/t] =lim a[-{log(1-t)}/(-t) -{log(1+t)}/t] =a(-1-1) [ここで lim_(t→0){log(1+t)}/t＝1・・・(*)を2回用いた．] =-2a (3)自然対数をとったものを考えて， log(1＋1/x)^x=x・log(1＋1/x) =(1/u)log(1+u)　　[1/x=u とおく．x→+0のときu→+∞] ={log(1+u)}/u→0 [不満な場合は指数関数に書き換えては？] よって (与式)＝ e^0＝１

namibito5
質問者

お礼

ありがとうございました!! とても分かりやすいです。 式の変形にもコツがあるんですね＾＾

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