- 締切済み
極限値
- みんなの回答 （3）
- 専門家の回答
みんなの回答
- lick6
- ベストアンサー率32% (25/77)
eの定義は覚えていますか？ e = lim[x→0] (1 + x)^1/x = lim[h→∞] (1 + 1/h)^h これをつかい lim[x→0] log(1 + x)^1/x = 1/x * log(1 + x) = 1 lim[h→∞] log(1 + 1/h)^h = h * log(1 + 1/h) = 1 極限の問題集にはおそらく1問はこれを聞いてくる問題があるとおもいます。 形からして「eの定義に持っていく」という方針がたてれば計算も少なくすむので、 もしlimとlogがでてきたらeの定義は使えるかどうか疑うようにしとくといいと思います。
- y_akkie
- ベストアンサー率31% (53/169)
以下のように式を変形していけば解けるんでは ないでしょうか？ >>lim[x→0]{log(1+x)+log(1-x)}/x^2 ここから先は、 lim[x->0]log(1-x^2)/x^2 とし、log1=0である事を利用して、 lim[x->0] {log(1-x^2)-log1}/x^2 という形にするべきでは？ そこから、t=x^2とおいて、 lim[t->0]{log(1-t)-log1}/t さらに、s=-tと置き換え、 lim[s->0]{log(1+s)-logs}/-s lim[s->0](-1)×{log(1+s)-logs}/s とすれば解きやすくなるんじゃないかな？
- postro
- ベストアンサー率43% (156/357)
x^2 を -t と置けば =lim[t→0]log(1+t)^(-1/t) =log(1/e) とわかるんじゃないでしょうか
関連するQ&A
- 極限(数III)
とある問題を解いている途中で、次のような極限に直面しました。 lim[x→+0]{(1/x-1)log(1-x)+(1/x+1)log(1+x)} 私の解答としては、 t=1/xとおく。x→+0のとき、t→∞である。 lim[x→+0]{(1/x-1)log(1-x)+(1/x+1)log(1+x)} =lim[t→∞]{(t-1)log(1-1/t)+(1+t)log(1+1/t)} 「ここで、e=lim[t→∞](1+1/t)^tを用いて、 =lim[t→∞]{(t-1)log(1-1/t)+(1+t)log(1+1/t)} =log(1/e)+loge =-1+1 =0 」 としたのですが、合っているでしょうか？特に括弧の部分は不安です。 つまり、 lim[t→∞](1+1/t)^(t+1)や lim[t→∞](1+1/t)^(t-1) もeに収束するのでしょうか？±1の誤差が気になります。でもt→∞だからこれは無視できるのでしょうか…。 あと、括弧内の2行目から3行目へは、何の断りもなく=で結んでもいいでしょうか？e^xの連続性とか述べた方が無難ですか？どなたか教えてください。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 三角関数の極限
数IIIの極限の問題で答えがないので合ってるかどうかみてほしいです 次の極限値を求めよ （１）lim［x→π］（x-π）/sinx x-π=tとおくと、x→πのときt→0より (与式)=lim[t→0]t/sin(t+π) =lim[t→0](t/sint) =1 （２）lim［x→∞］x^2(1-cos1/x) 1/x=tとおくと、x→∞のときt→0より (与式)=lim[t→0](1-cost)/t^2 分母分子に(1+cost)を掛けて =lim[t→0](1-cost)(1+cost)/{t^2(1+cost)} =lim[t→0](sint/t)^2・1/(1+cost) =1/2 よろしくお願いします
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 極限
次の極限を求めよ。 lim ( 2x-π ) cos 3x ----------------- x→x/2 cos^2x x - π/2 = t とおくと x = t + π/2 x → x/2 のとき t → 0 だから lim 2t・cos ( 3t + 3/2π ) 与式 = ---------------------- t → 0 cos^2 ( t + π/2 ) lim 2t・sin 3t = ------------ ... ☆ t → 0 ( - sin t ) ^2 lim 2t・sin 3t = ------------- .....★ t → 0 ( sin t ) ^2 lim t^2 sin 3t 3t = ----------- ・ ------ ・2t・ ---- t → 0 ( sin t )^2 3t t^2 = 1^2 ・2・3 = 6 これの ☆から★のところの分母の ( - sin t ) ^2 → ( sin t ) ^2 の変化 は 2乗がついてるから、マイナスがはずれるのでしょうか？ 教えてください。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数列の極限を求める問題です。
数列の極限を求める問題です。 あまりに分からないのでどなたか助けていただけないでしょうか？ ------------------------------------------------------------------------- 問 f(x) = log(1+x) (x > 0)とする。 （1）t≧1/3のとき、1/(t+1) < f(1/t) < 1/(t+ (1/3)) が成り立つことを示せ (2) cはc≧1/3を満たす定数とするとき、数列 {a[n]}[n=1～∞] を a[1] = f(1/c) , a[n] = f(a[n-1]) (n≧2) により定める極限値 lim[n→∞] {(log a[n])/log n} を求めよ ------------------------------------------------------------------------- （1）は解けたのですが（2）が分かりません。 ですので (1) が解けたとして (2) を求めていただけたらと思います。 よろしくお願い致します。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 極限 証明
極限 証明 lim[x→∞]（1+（1/x））＾x＝eの証明はどのようにすれば良いでしょうか？ [証明] (logx)'=1/x より，x=1における微分係数は1である。 したがって，微分係数の定義式から lim[h→0]（log(1+h)-log1）/h=1 左辺を変形して lim[h→0]（1/h）・（log(1+h)）=lim[h→0]log(1+h)^（1/h）=1 また、 1/h=x すなわち h=1/x とおくと，x→±∞のときh→0であるから lim[x→∞](1+1/x)^x =lim[x→-∞](1+1/x)^x =lim[h→0](1+h)^1/h=e また、以下が理解できません・・・ lim[x→∞](1+1/x)^x=lim[x→-∞](1+1/x)^xはなぜ等しいのでしょうか？ そして、lim[h→0](1+h)^1/h=eとしている理由がわかりません。なぜいきなりeが出てくる？ logはどこにいったのでしょうか？
- ベストアンサー
- 数学・算数
