極限(数III)

質問

とある問題を解いている途中で、次のような極限に直面しました。

lim[x→+0]{(1/x-1)log(1-x)+(1/x+1)log(1+x)}

私の解答としては、
t=1/xとおく。x→+0のとき、t→∞である。
lim[x→+0]{(1/x-1)log(1-x)+(1/x+1)log(1+x)}
=lim[t→∞]{(t-1)log(1-1/t)+(1+t)log(1+1/t)}

「ここで、e=lim[t→∞](1+1/t)^tを用いて、
　=lim[t→∞]{(t-1)log(1-1/t)+(1+t)log(1+1/t)}
　=log(1/e)+loge
　=-1+1
　=0　」

としたのですが、合っているでしょうか？特に括弧の部分は不安です。
つまり、
lim[t→∞](1+1/t)^(t+1)や
lim[t→∞](1+1/t)^(t-1)
もeに収束するのでしょうか？±1の誤差が気になります。でもt→∞だからこれは無視できるのでしょうか…。
あと、括弧内の2行目から3行目へは、何の断りもなく=で結んでもいいでしょうか？e^xの連続性とか述べた方が無難ですか？どなたか教えてください。

回答No.4

R_Earl · ベストアンサー

> 東北大の数学(2004年)にて、今回と同様な手段で解く(括弧部分)問題が出ましたが、
> その際にe^xの連続性の記述がないものには減点があったそうです。
> ↓はそれに関する記事です。
> http://www.jikkyo.co.jp/contents_list_c.jsp?contents_id=5597890679
> 「平成16年度入試を振り返って」

記事を読んでみました。
「logやexpの連続性についての説明が欲しかった」と書かれています。
今回は対数関数を使っているので、連続性について述べるなら、
expの連続性よりもlogの連続性について述べる方が良いのではないでしょうか。

もしかして、(1+1/t)^(t+1)や(1+1/t)^(t-1)が出てくるから
e^xの連続性について述べた方が良いと考えたのでしょうか？
(1+1/t)^(t+1)や(1+1/t)^(t-1)はe^xとは全く別種の関数です。
なのでe^xの連続性について述べても、
(1+1/t)^(t+1)や(1+1/t)^(t-1)が連続だと述べることにはなりません。

お礼

ご回答ありがとうございます。
記事を何度も読んでいるうちに理解できました。

回答No.3

Tacosan

log の連続性についてちょこっと触れておいた方が安全でしょうね.
事実上 e^x の連続性と同じではありますが.

お礼

ご回答ありがとうございます。

回答No.2

naniwacchi

確かに、不安になりますね。
逆の言い方をすれば、無限を扱うときにはそれだけ慎重になることが大事だということです。

不安を解消できるような（？）書き方をしてみました。
(t- 1)log(1- 1/t)の項だけ書いています。

最後の方で書かれているように、「±1の誤差」は t→∞とする極限においてはまさしく「誤差」です。
その感覚はあっています。

お礼

ご回答ありがとうございます。
±1の誤差について、画像の式はとても分かりやすかったです。

回答No.1

R_Earl

> im[t→∞](1+1/t)^(t+1)や
> lim[t→∞](1+1/t)^(t-1)
> もeに収束するのでしょうか？

lim[t→∞](1 + 1/t)^(t+1)
= lim[t→∞](1 + 1/t)(1 + 1/t)^t
= { lim[t→∞](1 + 1/t) }{ lim[t→∞](1 + 1/t)^t }
= 1・e
= e

lim[t→∞](1 + 1/t)^(t-1)
= lim[t→∞]{ (1 + 1/t)^t }{ 1 / (1 + 1/t)}
= { lim[t→∞](1 + 1/t)^t }{ lim[t→∞]1 / (1 + 1/t) }
= e・1
= e

> あと、括弧内の2行目から3行目へは、何の断りもなく=で結んでもいいでしょうか？
> e^xの連続性とか述べた方が無難ですか？

lim[t→∞]{(t-1)log(1-1/t)+(1+t)log(1+1/t)} = log(1/e)+loge
の部分でしょうか？
特に問題ないと思いますが…。

今回の問題では指数関数e^x自体が登場していません。
何故「e^xの連続性」を述べた方が良いと考えたのでしょうか？

補足

>何故「e^xの連続性」を述べた方が良いと考えたのでしょうか？
東北大の数学(2004年)にて、今回と同様な手段で解く(括弧部分)問題が出ましたが、その際にe^xの連続性の記述がないものには減点があったそうです。↓はそれに関する記事です。 http://www.jikkyo.co.jp/contents_list_c.jsp?contents_id=5597890679「平成16年度入試を振り返って」