線積分、面積分について

質問

ベクトル解析を習いたてのものです。自分で解釈できたのは線積分は線を細かく切っていって足し合わせたもの。面積分は面を細かく切って足し合わせたもの（間違えていたら指摘お願いします）。最初は線を積分すると面積が面を積分すると体積が求まると解釈していたのですが、どうもそんなに単純ではなく、たとえば線密度を線積分すれば線の質量がわかるといったように面積や体積までにとどまらないことがわかってきました。そこで思い出したのが高校入りたての物理でｖ－ｔグラフなるものを教わりその面積が実は移動距離になるといったことです。（この考え方はいいのでしょうか？）
ここでお聞きしたい本題は、実際教科書の線積分や面積分の問題を解いて答えを導き出したい場合は、単純に面積や体積を求めるということでいいのでしょうか？

回答No.3

aquarius_hiro · ベストアンサー

ANo.2です。

> たとえば、領域が示されている関数だけ与えられていてそれを線積分せよとか面積分せよといったような問題があった場合、普通に（何を求めているのかわからずとも）積分計算だと思えばいいのでしょうか？

数学の計算練習問題として被積分関数の意味が不明な場合は、その意味を理解しようがないので、そのまま計算するしかありません。

ただし、普通の積分 ∫f(x)dx に曲線f(x)の下側の面積という意味があるのと同様に、もし仮に ∫_S f(x,y,z)dS で、Sが平面で f(x,y,z) をSからの高さと思ってよければ、これはその立体の体積になります。しかし、一般にはf(x,y,z)は長さの次元をもつとは限らないし、積分領域は平面ではないので、これは例外的な場合です。

一方、物理学の問題として積分する場合には、f(x,y,z)にも、その∫結果にも、必ず何らかの意味があります。その意味を知るには、積分の定義式、例えば体積分の場合は、

∫_V f(x,y,z)dV = lim_{ΔV→0} Σ f(x,y,z) ΔV

に戻って意味を考えます。この右辺がその積分の物理的な意味を示しています。lim_{ΔV→0} は、分割を細かくして滑らかにする意味なので、物理的意味は、Σ f(x,y,z) ΔV のところにあります。その意味が何を表しているのかは、f(x,y,z) によります。

ANo.2 で説明した

> 体積密度 ρ(x,y,z) を体積 V で体積分したら、
>
> ∫_V ρ(x,y,z)dV = lim_{ΔV→0} Σ ρ(x,y,z) ΔV
>
> となります（体積分の定義より）が、ρ(x,y,z) ΔV は、座標(x,y,z) にある微小体積 ΔV の中の質量ですから、その和は全質量になりますね。

はその一番わかりやすい例です。

> 積分するためにインテグラルにつける数を考えるときに、領域のようなものを考えなくてはなりませんよね？そこでグラフを書いたりして領域を考えて積分しています（わかりずらくてすいません）。これは面積や体積を出しているのと変わりないのですか？もう少し噛み砕くと、面積や体積だと思って積分してもいいのですか？

ANo.2でも説明したように、面積分の結果が面積になる、体積分の結果が体積になるのは、被積分関数f(x,y,z)が無次元で 1 の場合です。それ以外の場合にどのような意味があるのかは、ANo.2や上で説明したように、lim ... の式に戻って考えなければなりません。

被積分関数が長さの単位をもつ場合には、線積分の結果は面積の次元をもち、面積分の結果は体積の次元をもつ量になります。（体積分の結果は長さの4乗の次元をもつ量になります。）それらが実空間での何らかの図形の、面積、体積に相当するかどうかは、ケースバイケースです。その場合ごとに考えなければならないことで、一般論はありません。

たまたま、面積分で面積分を実行する領域が平面で被積分関数が高さなら、ちょうどその面積領域にできたでっぱりの体積になることは上で説明したとおりです。線積分でも、線積分を実行する線がまっすぐで、被積分関数がその線からの距離を表すなら、その線の周りにできたある面の面積になります。これらのことも、やはり lim... で表した定義式に戻って理解できることです。

お礼

詳しく説明してくださって本当にありがとうございました。とても勉強になりました。完全に理解できるように、もう少し深く考えてみたいと思います。ありがとうございました。

回答No.2

aquarius_hiro

こんにちは。

> 最初は線を積分すると面積が面を積分すると体積が求まると解釈していたのですが、

線を積分すると、被積分関数（積分の中の関数）が1なら、そのまま積分領域（線状）の長さが出てくるだけですので、「面積」でなくて「線の長さ」になりますよ。

線を細かく切って足し合わせたら、また線になりますね。

その線の各部分に「質量の線密度」のようなものがかかれば、積分結果は「線の全質量」になります。

同様に、面を積分したら体積になるのではなくて、面積になります。

面を細かく切って足し合わせたら、また元に戻って面になりますね。

> ここでお聞きしたい本題は、実際教科書の線積分や面積分の問題を解いて答えを導き出したい場合は、単純に面積や体積を求めるということでいいのでしょうか？

被積分関数が 1 なら、線積分をすれば「線の全長」、面積分をすれば「全面積」、体積分をすれば「全体積」が求まります。

被積分関数が 1 でないということは、各微小部分（線積分なら ds、面積分なら dS、体積分なら dV）に、その被積分関数の値がかかるわけですから、それによって、いろいろな量が計算できます。

体積密度 ρ(x,y,z) を体積 V で体積分したら、

∫_V ρ(x,y,z)dV = lim_{ΔV→0} Σ ρ(x,y,z) ΔV

となります（体積分の定義より）が、ρ(x,y,z) ΔV は、座標(x,y,z) にある微小体積 ΔV の中の質量ですから、その和は全質量になりますね。

これで、ご質問の答えになっているでしょうか？

補足

＞線を細かく切って足し合わせたら、また線になりますね。
たしかにそうですね。すいません、自分は何を誤解していたのでしょうか？？
＞ご質問の答えになっているでしょうか？
たとえば、領域が示されている関数だけ与えられていてそれを線積分せよとか面積分せよといったような問題があった場合、普通に（何を求めているのかわからずとも）積分計算だと思えばいいのでしょうか？
積分するためにインテグラルにつける数を考えるときに、領域のようなものを考えなくてはなりませんよね？そこでグラフを書いたりして領域を考えて積分しています（わかりずらくてすいません）。これは面積や体積を出しているのと変わりないのですか？もう少し噛み砕くと、面積や体積だと思って積分してもいいのですか？

回答No.1

proto

物理でも数学でもそうなんですが、計算して出した値が何を意味するのかは、逐一解釈をしなければなりません。

たとえば縦10cm,横20cmの長方形で
　　10×20 = 200
と計算したこの200という値も、その意味を解釈して初めて面積であるとわかるのです。

積分でもそうで
　　∫[a→b]f(x)dx = F(b) - F(a)
という式を初めて見た時に、
「これは面積を求めているんだよね、当たり前のことだけど」
と言う人はいないでしょう。
(教科書で教えられてしまうと、当たり前に思えてしまうかもしれませんが、
なんで原始関数で引き算すると面積になるの？と考えると当たり前ではないことがわかるでしょう)
f(x)のグラフを描いて、グラフの下の面積が定積分で求まることを証明して初めて、「先ほどの式は面積を表していたんだ」とわかるわけです。

ですから教科書の問題でも、求める値は何を意味するのかは場合によってちゃんと解釈して判断しなければなりません。
ですが、数学の教科書の場合はただの計算であることも多いでしょう。
　　∫[a→b]f(x)dx = F(b) - F(a)
はグラフの下の面積と解釈することもできますが、この式だけ与えられている問題であれば「ただの計算である」と思っても間違いではありません。
グラフの下の面積だと思えば、ただの計算にイメージがプラスされ計算しやすくなったり、計算が楽しくなったりするだけです。

お礼

どうもありがとうございました。線積分、面積分についての理解が少しできた気がします。これからは今出そうとしている解はなんなのかを考えながら解いてみたいと思います。