ベクトル解析の面積分についての質問
- ベクトル解析学の面積分について質問があります。
- 具体的な問題として、円柱面の面積分を求めたいと思っています。
- しかし、zがxで表現できないため行き詰まっています。解決方法を教えてください。
- ベストアンサー
ベクトル解析の面積分
ベクトル解析学の面積分でわからないところがあります。 面積分習いたてであまりわからないのですが、 S:円柱面 y^2+z^2=4 0≦x≦1 z≧0 のとき、次の面積分を求めよ。 ∫_[S](xi+yj+zk)・dS この問題なのですが、 z^2=4-y^2≧0 y^2≧4 -2≦y≦2 くらいまで少し考えてみたのですが、すぐに行き詰まってしまいました。 この後はどうすればいいのでしょうか。 今まではこの後に z=f(x,y) とかになり、fxやfyを出せたのですぐにできたのですが、zがxで表現できないので… よろしくお願いします。
- rarara135b
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問題の図形は半円柱 (カマボコ型) ですが， 積分する範囲は円柱の側面 (曲面部分) だけでいいのでしょうか， それともカマボコ型の表面全体でしょうか？ 一応各部分に分けて計算します． 円柱座標を使って y ＝ r * cosθ，z ＝ r * sinθ とします． ■半円柱の側面 (曲面部分) ・外向きの法線ベクトル：(0, y，z)＝(0, r * cosθ, r * sinθ)． これを正規化すると単位法線ベクトルｎは (0, cosθ，sinθ)． ・微小面積 |dS| ＝ r * dθ * dx． ∴ (x, y, z)・dS ＝ (x, y, z)・n * |dS| ＝ (x, r * cosθ, r * sinθ)・(0, cosθ, sinθ) * |dS| ＝ (r * (cosθ)^2 + r * (sinθ)^2) * r * dθ * dx ＝ r^2 * dθ * dx． これを 0≦θ≦π，0≦x≦1 の範囲で積分すると，円柱側面での面積分は， I1 ＝ r^2 * π * 1 ＝ πｒ^2． ■円柱の底面 (x＝1) ・外向きの単位法線ベクトル：ｎ＝(1，0，0)． ∴ (x, y, z)・dS ＝ (x, y, z)・n * |dS| ＝ (x, y, z)・(1, 0, 0) * |dS| ＝ x * |dS| ＝ |dS|． これを円柱の底面にわたって積分すると，底面積そのものなので， I2 ＝ πｒ^2 / 2． ■円柱の底面 (x＝0) ・外向きの単位法線ベクトル：ｎ＝(-1，0，0)． ∴ (x, y, z)・dS ＝ (x, y, z)・n * |dS| ＝ (x, y, z)・(-1, 0, 0) * |dS| ＝ -x * |dS| ＝ 0． ∴ I3 ＝ 0． ■カマボコの底面 (z＝0) ・外向きの単位法線ベクトル：ｎ＝(0，0，-1)． ∴ (x, y, z)・dS ＝ (x, y, z)・(0, 0, -1) * |dS| ＝ -z * |dS| ＝ 0． ∴ I4 ＝ 0． したがって全体の面積分は I1＋I2＋I3＋I4 ＝ (3/2)πｒ^2 ＝ ６π． 答え合ってますか？
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- noocyte
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> また、略解には > n=(y/2)j+((1/2)√(4-y^2))k；4π やはり半円柱の側面だけのようですね．最後の４πが答えです． (#1 の I1＝πｒ^2 で r＝2 なので．) Ｘ軸を中心とする円柱の側面の外向き法線は，Ｘ軸に垂直で， Ｘ軸上の１点から放射状に伸びる線です． 従って単位法線ベクトルは #1 に書いたとおり， (0, cosθ, sinθ) ＝ (0，y/r，z/r) ＝ (0，y/2，z/2) ＝ (y/2) j↑ ＋ (z/2) k↑ ＝ (y/2) j↑ ＋ (1/2)√(4 － y^2) k↑． > 見落としていたヒントとやらがあったので一応載せます。 ヒントについてはまた後でコメントするつもりです．
お礼
お返事が遅くなってしまいすみません。 なんとかわかりました。ありがとうございました。
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