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積分の問題
∫log(1+x)/(1+x^2) dx (x;0～1までの定積分） 上の問題がわかりません。x=tanθと置き、 ∫log(1+tanθ)dθ (θ;0～π/4) とまではしてみたのですがここから先がどうしてもうまく解けません。 sinθ+cosθ=√2 sin(θ+π/4) , sin(π/2-θ)=cosθ を利用するらしいのですが、どのようにして解けばいいのでしょうか？ どなたかわかる方、教えていただけたら幸いです。 よろしくお願いします。
- meguro1010
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∫log(sin(θ+π/4))dθ をわかりやすいように二回にわけて置換積分しますね。 最初は、θ+π/4=φとして、 ∫log(sinφ)dφ (π/4→π/2) 次に、π/2-φ=ξとして、 ∫log(cosξ)dξ (0→π/4) となりますね。 定積分では積分変数を好きにかえていいので、、、 あとは大丈夫ですね。
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- zk43
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log(1+x)/(1+x^2)=log(1+x)-log(1+x^2)として、それぞれ部分積分 する方が簡明かと思います。 ∫log(1+x)dx=xlog(1+x)-∫x/(1+x)dx=… ∫log(1+x^2)dx=xlog(1+x^2)-∫x×2x/(1+x^2)dx=… 第２の積分の方はarctanがでてきます。
補足
すみません。この式は ∫｛log(1+x)｝/(1+x^2) dx といった形で(1+x^2)にはlogがかかっていないんです。 誤解をまねくような書き方で本当に申し訳ありませんでした。
- mazoo
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∫log(cosθ+sinθ)dθ-∫log(cosθ)dθ と変形します。積分区間は(0,π/4)です。 あとは一番目の積分の中のcosθ+sinθを質問者の方が記述しているように変形してください。 logの中身の掛け算は、logの和に分割できるので、√2の部分をはずして、残りの部分を変形していくと、、、 面白いのでご自身でやってみてください、、、
補足
∫log(cosθ+sinθ)dθ-∫log(cosθ)dθ =∫log√2 sin(θ+π/4) dθ-∫log(cosθ)dθ =∫log√2dθ+ ∫sin(θ+π/4) dθ-∫log(cosθ)dθ となりますよね？ この後の変形の仕方がよくわからないのですが…。 すみません、教えていただけないでしょうか？
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お礼
解くことができました！！ 本当にありがとうございます！！