広義積分の問題と解けない問題の解法
- 広義積分∫logsin(x) dx = -Pi/2 log(2)を用いて、他の広義積分の解法を求めたい。
- 特に、∫(x^2)log(x)/√(1-x^2) dx, ∫log(1+x)/1+x^2 dx, ∫(x-(Pi/2))tanx dx, ∫log(1+cos(x)) dxの計算がうまくいかない。
- 最初の問題を解く際に、1/√(1-x^2) = (arcsinx)'を使えるのではないかと考えている。
- ベストアンサー
定積分の問題で解けない問題があります。
広義積分 ∫logsin(x) dx = -Pi/2 log(2) (積分範囲 0,Pi/2) が解っている前提で、 ∫(x^2)log(x)/√(1-x^2) dx (積分範囲 0,1) これは、x=sin(x)と置いて部分積分でガチャガチャやって計算できたのですが、 ∫log(1+x)/1+x^2 dx (積分範囲 0,1) ∫(x-(Pi/2))tanx dx (積分範囲 0,Pi/2) ∫log(1+cos(x)) dx (積分範囲 0,Pi) 等の計算がうまくいきません。 自分としては、最初の問題で 1/√(1-x^2)=(arcsinx)' というのが使えそうな気がしてならないんですが・・・ 解る方がいればヒントだけでもいいので教えていただければ、と思い投稿しました。 よろしくお願いします。
- rei-kun
- お礼率50% (1/2)
- 数学・算数
- 回答数2
- ありがとう数3
- みんなの回答 （2）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
＞∫log(1+cos(x)) dx (積分範囲 0,Pi) log内を半角の公式を使い、log cos(x/2)の積分になり、x/2=(Pi/2)-yの変換をすると log(sin y)の積分となる。 ＞∫log(1+x)/(1+x^2) dx (積分範囲 0,1) x=tan t で log(sin t + cos t) と log(cos t)の積分になる。 t=(Pi/4)-x により、同じlog(cos x)の積分の差(=0)と解となる定数部になる（log(cos x)の積分部が発散しないことを評価する必要があるかもしれないが、これは上記のようにlog(sin x)の積分の部分となる）。 ＞∫(x-(Pi/2))tanx dx (積分範囲 0,Pi/2) tan x を積分する部分積分行うとlog(cos x)の積分になるが x=Pi/2-yで log(sin y)の積分になるが、定数部で lim[x→0]x(tan x)→0 を示す必要あり。
その他の回答 (1)
- endlessriver
- ベストアンサー率31% (218/696)
＃１です。最後の lim[x→0]x(tan x)→0 を示す必要あり。 は lim[x→Pi/2](x-Pi/2)(log cos x)→0 を示す必要あり。 の誤りでした。
関連するQ&A
- 積分の問題です
途中で間違えていたため訂正しました； 積分の計算の質問です。 (1)∫(-π/2～π/2)(tanx)^2dx これは広義積分を０までと０からに分けて定義して、 その後(tanx)^2の不定積分を求めるためにt=tanxとおいて計算すると tanx-xが求まり、それを広義積分に当てはめると lim(ε→０)(-π/2+ε+1/tanx)+lim(η→０)(-π/2+η+1/tanx) となったんですが、これは答えが正の無限大となると考えればよいのでしょうか？ (2)∫(０→π)(1/1+2cosx)dx これはxが2π/3のとき分母が０になってしまうので、そこを境に広義積分を定義して 次にt=tanx/2とおいて1/1+2coxの不定積分を求めると 1/3*log|(√3+tanx/2)/(√3-tanx/2)|が求まり、 それを広義積分に当てはめるとx=πのところで値がlog|∞/∞| のようになってしまうように思うんですが、 これは途中で間違っているのでしょうか？それとも何か考え方が違うのでしょうか？ (3)∫(０～π/2)(π/2-x)tanxdx これは解き方の方針が思いつきません。 どれか１つでもいいので、 回答いただけるとうれしいです＞＜
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 積分 1/sin^3x 問題
積分 1/sin^3x 問題 ∫{1/(sin x)^3}dxについて 調べた結果、sinx=cos(x-π/2)として、θ=x-π/2と置換する。 ∫{1/(cos（x-π/2）)^3}dx （x-π/2）=θとおくと、dθ/dx＝1よりdθ=dx ∫{1/(cosθ)^3}dθとなります。 あとは、1/cos^3xの積分と同じで、 1/2（sinθ/cos^2θ）+1/4log（1+sinθ/1-sinθ）+C のθをx-π/2に戻すと、 1/2（sin（x-π/2）/cos^2（x-π/2））+1/4log（1+sin（x-π/2）/1-sin（x-π/2））+C で答えは合っているのでしょうか？ cos^2（x-π/2）=sin^2xとしなければいけないのでしょうか？ ご回答よろしくお願い致します。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 不定積分の問題
不定積分の問題ですが、部分積分法で解く問題ですが、考えても解答通りにならないので、ここで質問するに至りました。途中計算等を教えてください。お手数になりますが、どうか宜しくお願いします。 (1)∫x sec^(2)(x) dx 私が解くと、xtanx- sec^(2) + c になります。 (2)∫Tan^(-1)(x)dx (3)∫Sin^(-1) (x/3)dx (4)∫e^(-2x) sin3x dx ↑部分積分法を繰り返してもとめるのですが、どのような切り口で求めるのかが分かりませんでした。 答え (1) x tan(x) + log | cos(x) | + C (2) xTan^(-1) (x) - (1/2)log{x^(2) +1} + C (3) xSin^(-1) (x/3) + √(9-x^(2)) + C (4) {-e^(-2x)/13 } (2sin3x + 3cos3x ) + C
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数III 積分教えてください
(1)∫tanx^3 dx tanx*tanx^2とし、1/cosx^2=tとして考えましたがうまくいきませんでした。 答え (1/2)tanx^2+log|cosx|+C （２）∫ｘcos3x dx f(x)=x,g´（ｘ）=cos3x としましたがうまくいきませんでした。 答え （ｘ/３）cos3x+(1/3)sin3x+C (3)∫ｄｘ/｛√(x＋１)＋√ｘ｝ 答え （２/３）√（ｘ+1）＾３-（２/３）√ｘ＾３+C 解き方を教えてください。 詳しいとありがたいです。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 定積分の問題
∫(0から2){x/(3-x)^2}dxの定積分を求めよ。という問題なんですが、友達にヒントをもらい、部分積分法を使って解いてみました。 ∫(0から2){x(3-x)^-2}dx ＝[x(3-x)^-2](0から2)－∫(0から2){(3-x)^-2}dx ＝・・・ と計算していって答えは２－log３になったのですが、どこか物足りないような気がします。こんな単純な計算でいいのでしょうか？ 部分積分法なら、最初に何を微分したものかを考えると思うのですが、友達に聞いたところ、これで合ってると言われました。 もしこのやり方が間違っていたら、解法を詳しく教えてください。お願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
ありがとうございます、だいぶ参考になりました。 詳しい解説で助かります。 あとは自力でやってみることにします。