高校 積分について

質問

2∫sinx (sinx)' dx = [sin^2x]

∫(e^x ＋ 1)^2 (e^x ＋ 1) dx = [ 1/3 (e^x ＋ 1 ) ^3 ]

∫tanx ( tanx )' dx = [ 1/2 ( tanx )^2 ]

積分と微分が逆の計算ということより、
∫と( )' が打ち消しあうと思っていたのですが、
1/3、1/2　はどこからでてきたものなんですか？

回答No.2

spring135 · ベストアンサー

一般論として

y=f(x)

を含む積分に関する以下の公式が導けます。

dy^n/dx=ny^(n-1)dy/dx

の両辺をxで積分して

∫y^(n-1)y'dx=y^n/n+c

または

∫f(x)^(n-1)f'(x)dx=f(x)^n/n+c

(1)2∫sinx (sinx)' dx = [sin^2x]
f(x)=sinx, n=2

(3)∫tanx ( tanx )' dx = [ 1/2 ( tanx )^2 ]
f(x)=tanx, n=2

(2)∫(e^x ＋ 1)^2 (e^x ＋ 1) dx = [ 1/3 (e^x ＋ 1 ) ^3 ]

間違いです

∫(e^x ＋ 1)^2 e^x dx = [ 1/3 (e^x ＋ 1 ) ^3 ]

f(x)=e^x+1, n=3

お礼

今度から∫f(x)^(n-1)f'(x)dx=f(x)^n/n+c使えそうです。
ありがとうございました。

回答No.3

ferien

ANo.1です。補足について

∫tanx ( tanx )' dx = [ 1/2 ( tanx )^2 ] = 1/6

置換積分ならtanx=tから
＞x:0 → π/6
積分範囲があるとは知りませんでした。質問文に書かれていないことについては考えようがありません。
＞t:0 → 1/√3となると思うのですが、回答は
それでいいと思います。
＞∫　 0 → π/6
＞[ ] 0 → π/6
＞tanx=tと置いたのに積分範囲は変化してないし
積分範囲のことが分かっていれば、このような回答はしません。積分範囲はないと思っていました。
＞∫tanx ( tanx )' dx = [ 1/2 ( tanx )^2 ]の変形はどうなっているのですか
積分範囲があるのであれば、
∫［０～1/√3｝ｔｄｔ
＝「(1/2)ｔ^2］［０～1/√3］
＝(1/2)・(1/3)
＝１／６

になります。

お礼

積分範囲をつけてもつけなくても一緒だと勝手に判断してました。
回答ありがとうございました。

回答No.1

ferien

＞積分と微分が逆の計算ということより、
＞∫と( )' が打ち消しあうと思っていたのですが、
＞1/3、1/2　はどこからでてきたものなんですか？
置換積分してみると分かります。
＞2∫sinx (sinx)' dx = [sin^2x]
sinｘ＝ｔとおくと、（sinｘ）'ｄｘ＝ｄｔ
＝２∫ｔｄｔ
＝２×(1/2)ｔ^2＋Ｃ
＝ｔ^2＋Ｃ

＞∫(e^x ＋ 1)^2 (e^x ＋ 1) dx = [ 1/3 (e^x ＋ 1 ) ^3 ]
e^x ＋ 1＝ｔとおくと、（e^x ＋ 1）'ｄｘ＝ｄｔ
＝∫ｔ^2ｄｔ
＝(1/3)ｔ^3＋Ｃ　

＞∫tanx ( tanx )' dx = [ 1/2 ( tanx )^2 ]
tanｘ＝ｔとおくと、（tanｘ）'ｄｘ＝ｄｔ
∫ｔｄｔ
＝(1/2)ｔ^2＋Ｃ

です。

補足

∫tanx ( tanx )' dx = [ 1/2 ( tanx )^2 ] = 1/6

置換積分ならtanx=tから
x:0 → π/6
t:0 → 1/√3となると思うのですが、回答は
∫　 0 → π/6
[ ] 0 → π/6
tanx=tと置いたのに積分範囲は変化してないし
∫tanx ( tanx )' dx = [ 1/2 ( tanx )^2 ]の変形はどうなっているのですか