積分の問題です

質問

途中で間違えていたため訂正しました；

積分の計算の質問です。
(1)∫(-π/2～π/2)(tanx)^2dx
これは広義積分を０までと０からに分けて定義して、
その後(tanx)^2の不定積分を求めるためにt=tanxとおいて計算すると
tanx-xが求まり、それを広義積分に当てはめると

lim(ε→０)(-π/2+ε+1/tanx)+lim(η→０)(-π/2+η+1/tanx)

となったんですが、これは答えが正の無限大となると考えればよいのでしょうか？

(2)∫(０→π)(1/1+2cosx)dx
これはxが2π/3のとき分母が０になってしまうので、そこを境に広義積分を定義して
次にt=tanx/2とおいて1/1+2coxの不定積分を求めると
1/3*log|(√3+tanx/2)/(√3-tanx/2)|が求まり、
それを広義積分に当てはめるとx=πのところで値がlog|∞/∞|
のようになってしまうように思うんですが、
これは途中で間違っているのでしょうか？それとも何か考え方が違うのでしょうか？

(3)∫(０～π/2)(π/2-x)tanxdx
これは解き方の方針が思いつきません。

どれか１つでもいいので、
回答いただけるとうれしいです＞＜

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

#1です。

(1)
>｛(-π/2)+εから０まで、０から(π/2)-ηまでを積分してεとηをそれぞれ０に近づける｝

これは良いとして

>(1)で出てきているtanxはtanεとtanηの書き間違いでした。
で修正したとして
>lim(ε→0)(-π/2+ε+1/tanx)+lim(η→0)(-π/2+η+1/tanx)
lim(ε→0)(-π/2+ε+1/tanε)+lim(η→0)(-π/2+η+1/tanη)
とはなりませんね！　　やはり理解不能のままです...？？？

ε>0,η>0として
I=-lim(ε→0){tan(-π/2+ε)-(-π/2+ε)}
+lim(η→0)(tan(π/2-η)-(π/2-η)}
=lim(ε→0){tan(π/2-ε)-(π/2-ε)}
+lim(η→0)(tan(π/2-η)-(π/2-η)}
=2lim(ε→0){tan(π/2-ε)+(-π/2+ε)}
=2limε→0){tan(π/2-ε)}-π → +∞

(2)
不定積分は
F(x)=(1/3)log|(√3+tan(x/2))/(√3-tan(x/2))| +C
ですが
Fo(x)=(1/3)log|(√3+tan(x/2))/(√3-tan(x/2))|
とおくと

0≦x＜2π/3…(A)では
I1=∫[0,x]f(x)dt=Fo(x)は F(0)=0となるようにF(x)の定数Cを定めており

2π/3＜x≦π…(B)では
I2=∫[2π/3,x]f(x)dt=Fo(x)は F(π)=0となるようにF(x)の定数Cを定めているので、同じFo(x)でも定数Cが積分区間により異なるため、積分を
x=0～πの通しで積分してはいけない。
つまり、積分区間x=0～2π/3と積分区間x=2π/3～πで積分を分割して書かないといけないということです。分割して書いた積分は個別に求めて、それらを加えて積分区間x=0～πの積分とします。
質問の問題では、分割したそれぞれが無限大に発散します。

(3)
>(π/2-x)　⇒　{(π/2)-x}　です。
>これだと普通の方法では求められますか？
折込済みでA#1の(3)を書いております。

特殊関数（超越関数）でしか積分出来ないものは普通の方法（初等関数での積分）は無理です。

お礼

(1)は
tan(π/2-ε)=1/tanε　の公式にあてはめて
解いたんですがだめですかね…？
書いていただいた解答ですごくよくわかりました。
ありがとうございます！

詳しい回答をありがとうございました。
勘違いが多くて申し訳なかったです…。
参考にさせていただきます！

回答No.3

info22_

#1,#2です。

A#2の補足の質問の回答

>tan(π/2-ε)=1/tanε　の公式にあてはめて
解いたんですがだめですかね…？

それなら問題ありません。失礼しました。

お礼

わかりました。ありがとうございます！

回答No.1

info22_

(1)発散（収束しない、∞）
>lim(ε→０)(-π/2+ε+1/tanx)+lim(η→０)(-π/2+η+1/tanx)
これなんですか？　理解不能！
原始関数「tan(x)-x」とも無関係。
tan(x)-x=∫[0,x]{tan(x)}^2 dxと同じ。

(2)発散（収束しない）
1/3*log|(√3+tan(x/2))/(√3-tan(x/2))|=∫[0,x]1/(1+2cos(t))dt
が適用できるのは「|x|<2π/3の範囲」。
I=∫[0,2π/3] 1/(1+2cos(x)) dx+∫[2π/3,π]1/(1+2cos(x)) dx
と分けて考える。しかし両方とも収束しない。

(3)収束する。
初等関数の範囲では積分できない。
積分値=(π/2)ln(2)=1.088793045151801...
積分サイト：http://www.wolframalpha.com/
で「integrate((Pi/2-x)*tan(x),x,0,Pi/2)」を実行すれば得られる。
不定積分はポリログ関数Li(x)を使えば求まる（大学数学レベル）。
その不定積分は、上記積分サイトで
「integrate((Pi/2-x)*tan(x),x)」を実行すれば求めてくれます。

お礼

ごめんなさい；
(1)で出てきているtanxはtanεとtanηの書き間違いでした。
気づかず補足までしてしまって申し訳ないです…

回答ありがとうございます。
なんとか考えてみます。

補足

(1)理解不能ですか、すいません；
両端で値が無限大になってしまって定義できないと思ったので広義積分をしたらそうなったと思ったのですが…｛(-π/2)+εから０まで、０から(π/2)-ηまでを積分してεとηをそれぞれ０に近づける｝

(2)では、2π/3からπまでの積分はどのように計算したらよいのでしょうか？基本的でしたらごめんなさい..

(3)私の書き方が悪かったかもしれません。
(π/2-x)　⇒　{(π/2)-x}　です。
これだと普通の方法では求められますか？

長々とすいません。