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定積分の問題
∫(0から2){x/(3-x)^2}dxの定積分を求めよ。という問題なんですが、友達にヒントをもらい、部分積分法を使って解いてみました。 ∫(0から2){x(3-x)^-2}dx ＝[x(3-x)^-2](0から2)－∫(0から2){(3-x)^-2}dx ＝・・・ と計算していって答えは２－log３になったのですが、どこか物足りないような気がします。こんな単純な計算でいいのでしょうか？ 部分積分法なら、最初に何を微分したものかを考えると思うのですが、友達に聞いたところ、これで合ってると言われました。 もしこのやり方が間違っていたら、解法を詳しく教えてください。お願いします。
- kurum
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xと３を入れ替えて、 ∫[0,2]{x/(x-3)^2}dx とした方が良さそうです。 =∫[0,2]x{1/(x-3)^2}dx =∫[0,2]x{-1/(x-3)}'dx =x{-1/(x-3)}[0,2]-∫[0,2]{-1/(x-3)}dx =2+log|x-3|[0,2] =2-log3 答はあってはいますが、 ＞＞ ＝[x(3-x)^-2](0から2)－∫(0から2){(3-x)^-2}dx ＞＞最初に何を微分したものかを考えると思うのですが、 を思考すると、 単なる（誤植）とも思えません。 [x(3-x)^-2](0から2)は変です。偶然 ２になりますが。 －∫(0から2){(3-x)^-2}dxも変ですね。 この式からは、２－log３ にはなりません。
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- oyaoya65
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＞∫(0から2){x(3-x)^(-2)}dx ＞＝[x(3-x)^(-2)](0から2)－∫(0から2){(3-x)^-2}dx ＝[x(3-x)^(-1)](0から2)－∫(0から2){(3-x)^(-1)}dx となりませんか？ ＞答えは２－log３になったのです 結果は合っているようです。
- kumipapa
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＞ 答えは２－log３になったのですが 合ってます。 ＞ ∫(0から2){x(3-x)^-2}dx ＞ ＝[x(3-x)^-2](0から2)－∫(0から2){(3-x)^-2}dx は、 ＝[x(3-x)^-1](0から2)－∫(0から2){(3-x)^-1}dx では？ ∫ｆ 'g dx = fg - ∫fｇ 'dx で、 ｆ '(x) = (3-x)^-2, g(x)=x としたってことですよね。 で、何が分らないんでしたっけ。
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