逆ラプラス変換の方法について

質問

以下の逆ラプラス変換の方法が分かりません。部分分数に分解することを試みたのですが、行き詰まってしまいました…。

L^(-1)[2s/(s^4+1)]

回答よろしくお願いします。

回答No.1

info22 · ベストアンサー

s^4+1=(s^2+1)^2-2s^2=(s^2-√2s+1)(s^2+√2s+1)
ですから
2s/(s^4+1)=(1/√2){1/(s^2-√2s+1)-1/(s^2+√2s+1)}

さらに
s^2-√2s+1=(s-1/√2)^2+(1/2)
s^2+√2s+1=(s+1/√2)^2+(1/2)
ですから
L^(-1)[2s/(s^4+1)]=e^(t/√2)*sin(t/√2)-e^(-t/√2)*sin(t/√2)
={e^(t/√2)-e^(-t/√2)}*sin(t/√2)
=2sinh(t/√2)*sin(t/√2) (t≧0)

補足

早々に丁寧な回答をいただきありがとうございました！

回答No.2

ringouri

jを虚数単位とします。分母を{s-√(j)}, {s+√(j)}, {s-√(-j)}, {s+√(-j)}として4項の部分分数に展開します。
√(j) = (1+j)/(√2)、√(-j) = (1-j)/(√2)に注意して、一次の分数を
1/(s-α） → exp(αt)、 1/(s+α) → exp(-αt) で逆変換します。

結果を
sin(X) = {exp(jX)-exp(-jX)}/(2j)
sh(X) = {exp(X)-exp(-X)}/2
を使ってまとめると、
2s/(s^4+1) → 2{sin(t/√2)・sh(t/√2)} となるはずです。

途中の計算をトライしてみてください。

補足

早々に丁寧な回答をいただきありがとうございました！自分でチャレンジしてみます！