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『たたみこみ』の逆ラプラス変換

  • 困ってます
  • 質問No.160659
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お礼率 62% (50/80)

”たたみこみ”で逆ラプラス変換の問題を解くものなのですが、
いまいち”たたみこみ”の活用法がわかりません。

 S^2/{(S^2+4)^2}

という問題で、これを部分分数分解して逆ラプラス変換すると、

 (1/2)t・cos2t+(1/4)t・sin2t

となる筈(苦)なのですが。
どうも問題を”たたみこみ”で解くことが出来ないのです。
 L[cos2t]=S/(S^2+4)
という関係式を使うのか、と感じてはいるのですが、そこで止まってしまいます。

”たたみこみ”について熟知(?)していらっしゃる方々、御回答お願いします。
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質問者が選んだベストアンサー

  • 回答No.2
レベル7

ベストアンサー率 66% (8/12)

失礼しました。もっと簡単に出来ました。
L^(-1)[S/(S^2+4)]=cos2t
を使って
L^(-1)[S^2/{(S^2+4)^2}]
=L^(-1)[(s/(S^2+4))*(s/(S^2+4))]
=∫0からtまでcos2(t-u)*cos2u du
=∫0からtまでcos(2t-2u)*cos2u du
=∫0からtまで(cos2tcos2u+sin2tsin2u)*cos2u du
=cos2t∫(cos2u)^2du+sin2t∫sin2ucos2udu
途中加法定理・2倍角の公式を使って
=(1/2)tcos2t+(1/4)sin2t

以上です
お礼コメント
team-u

お礼率 62% (50/80)

おおお!!(感動)
そうですか、たたみこみとはこのように解くものだったのですね!
有難う御座います、これでテストも出来・・・(ないと思いますが;)
投稿日時 - 2001-11-02 22:27:00
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  • 回答No.1
レベル7

ベストアンサー率 66% (8/12)

まずS^2/{(S^2+4)^2} を部分分数  1/(S^2+4)-4/{(S^2+4)^2}と分解 この第一式はさらに分解して (1/4i)*{1/(s-2i)-1/(s+2i)} この式だけラプラス逆変換すると (1/4i)*{e^(2it)-e^(-2it)} =(1/2)*sin2t ・・・(1) 次に第二式は L^(-1)[2/(S^2+4)]=sin2t より ここで ...続きを読む
まずS^2/{(S^2+4)^2} を部分分数
 1/(S^2+4)-4/{(S^2+4)^2}と分解
この第一式はさらに分解して
(1/4i)*{1/(s-2i)-1/(s+2i)}
この式だけラプラス逆変換すると
(1/4i)*{e^(2it)-e^(-2it)}
=(1/2)*sin2t ・・・(1)

次に第二式は
L^(-1)[2/(S^2+4)]=sin2t より
ここでたたみこみを使って
L^(-1)[-4/(S^2+4)^2]
=L^(-1)[-(2/(S^2+4))*(2/(S^2+4)]
=-∫0からtまで(sin2(t-u)*sin2u)du
これを加法定理(2倍角も)を使ってからtの式をくくりだして
uの式をuで積分すると
=(1/8)sin2tcos4t-(1/8)sin4tcos2t-(1/8)sin2t
+(1/2)tcos2t
=-(1/4)sin2t+(1/2)tcos2t ・・・(2)
(1)+(2)より
L^(-1)[S^2/{(S^2+4)^2} ]
=(1/4)sin2t+(1/2)tcos2t 

逆にこれをラプラス変換したらもとの式になりました
裏覚えの部分(公式)はちょっと本を見てしまいました

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