ラプラス変換

質問

この問題の解き方を教えて下さい。
微分方程式 x '' + 4 x = cos 2t x(0) = 0 , x(π/4)=0
＜解いたやりかた＞
L(x(t))=X(s)とする
両辺をラプラス変換　s^2 X(s) - 0 s - 0 + 4X(s) = 2/(s^2 + 4)
X(s) = 2/(s^2 +4)^2
ここで右辺の部分分数分解の分解のしかたが分かりません。
2/(s^2 +4)^2 = (As + B)/(s^2 + 4) + (Cs + D)/(s^2 + 4)^2とおいてみましたがこれだと分解できません。

よろしくお願いします。

回答No.6

info22_ · ベストアンサー

#5です。

A#5でミスしましたので訂正します。

最後の方の所で

>x(t)=(c/2)sin(2t)+L^-1{-d/ds((1/2)/(s^2+4))}
>=(c/2)sin(2t)+tL^-1{(1/2)/(s^2+4)}
>=(c/2)sin(2t)+(t/4)L^-1{2/(s^2+4)}
>=(c/2)sin(2t)+(t/4)cos(2t) …(▲)
正：=(c/2)sin(2t)+(t/4)sin(2t) …(▲)
この影響での訂正が必要になります。

>x(π/4)=0より
>0=(c/2)sin(π/2)+(π/8)cos(π/2)　←×
>0=c/2 ∴c=x'(0)=0 　←×
正：(c/2)sin(π/2)+(π/8)sin(π/2)
正：0=c/2+π/8 ∴c=x'(0)=-π/4

>(▲)に代入すれば
>　x(t)=(t/4)cos(2t) 　←×
正：x(t)=(-π/8)sin(2t)+(t/4)sin(2t)
∴x(t)=(1/8)(2t-π)sin(2t)

お礼

ありがとうございます！！

回答No.5

info22_

>L(x(t))=X(s)とする
>両辺をラプラス変換　s^2 X(s) - 0 s - 0 + 4X(s) = 2/(s^2 + 4)
間違い！
正：s^2 X(s) -x(0)s -x'(0) + 4X(s) = s/(s^2 +4)
x(0)=0,x'(0)=c(定数)とおくと
s^2 X(s) -c + 4X(s) = s/(s^2 +4)
X(s)(s^2+4)=c+s/(s^2 +4)
X(s)=c/(s^2 +4)+s/(s^2 +4)^2　...(◆)

>X(s) = 2/(s^2 +4)^2
間違い。なので以下は×

>ここで右辺の部分分数分解の分解のしかたが分かりません。
>2/(s^2 +4)^2 = (As + B)/(s^2 + 4) + (Cs + D)/(s^2 + 4)^2とおいてみましたが
>これだと分解できません。

(◆)ですでに右辺の部分分数分解ができています。
(◆)を逆ラプラス変換すると
x(t)=(c/2)sin(2t)+L^-1{-d/ds((1/2)/(s^2+4))}
=(c/2)sin(2t)+tL^-1{(1/2)/(s^2+4)}
=(c/2)sin(2t)+(t/4)L^-1{2/(s^2+4)}
=(c/2)sin(2t)+(t/4)cos(2t) …(▲)
x(π/4)=0より
0=(c/2)sin(π/2)+(π/8)cos(π/2)
0=c/2 ∴c=x'(0)=0
(▲)に代入すれば
　x(t)=(t/4)cos(2t)

回答No.4

178-tall

1/(s^2 +4)^2 = 1/{(s + i2)(s - i2)}^2 の部分分数展開？

s = -i2 の例。
　1/{(s + i2)(s - i2)}^2 = A/(s + i2)^2 + R(s)
両辺に (s + i2)^2 をかけて s → -i2 、
　-1/16 = A

　R(s) = 1/{(s + i2)(s - i2)}^2 - A/(s + i2)^2
を求めると、1/(s + i2)^2 の項がなくなっているはず。

以下、同じ趣向で続行。

回答No.3

Tacosan

あ, 突っ込み忘れた.

本質とはなんにも関係ないけど, そのラプラス変換はたぶん間違ってる.

回答No.2

Tacosan

第1項の存在意義が....＞#1.

複素数, 使っていい?

回答No.1

アウストラロ ピテクス（@ngkdddjkk）

右辺第2項の分子は、分母が4次だから3次にしないといけません。