素因数分解の一意性について

質問

素数のうち、４で割ると１余るグループのものは、数の概念を複素数まで広げると因数分解できる、と本で読みました。
　そもそも、素数から「１」を排除したのは、「因数分解の一意性」を確保するためだ、とも聞いています。
　ところが、例えば、素数「２９」は、
　　２９＝４+25＝２＾２+５＾２　　となって、
　　（２＋５i）（２－５i）　と　（５＋２i）（５－２i）　のどちらでもいいように思います。
　「一意性」はどうなってしまうのでしょうか？

　みみっちい質問でごめんなさい。なんか気になっちゃって…。
　どうか、よろしくお願いします。

回答No.1

stomachman · ベストアンサー

ごめんなさいでした。いやー、鉛筆も持たずに回答かいちゃいけないでした。はい。stomachmanうんうんうなってまじめに考え直しました。

結論から言いますと、
「i,-1,あるいは-i倍されている、というのを気にしない、という約束する。だから、(2+5i)(2-5i), (5+2i)(5-2i) ,(-2-5i)(-2+5i), (-5-2i)(-5+2i) は全部同じ分解であるとみなす。そういう約束のもとで分解は１通りである。」
ということでした。
えーなにそれ。と仰らずに、以下の議論におつきあい願います。

数学では、素因数分解の一意性は次の定理で示されています。
定理
「単項イデアル整域において、零元でも正則元でもない元の素元分解は、一意的に可能。ただし同伴のものは同一視する。」

分かんない言葉がいっぱい出てきますが、ひとつづつ解釈しましょう。

●「素元分解」てのは素因数分解の一般名称です。

●「単項イデアル整域」：ここでは (a+bi) （a,b は整数）というものの集合Ｓについて、その元を素元分解する話をしています。その特別の例が(4n+1)+0iです。こういう(a+bi)全体がなす集合は「単項イデアル整域」ちゅうものになります。説明すると長くなるので、まあ「単項イデアル整域」とはこの集合Ｓのことだと思ってください。 Ｓ = { a+bi | a∈Ｚかつb∈Ｚ｝ただしＺは整数。

●「零元」とは0のことです。これは簡単。

●「正則元」というのは逆数が集合Sのうちに存在するもの。（つまりある元uが正則元であるというのは、u(a+bi)=1　になるような(a+bi)が存在するということ。普通の整数のばあいなら、1と-1です。）
Ｓにおいては、具体的には正則元は1,-1,i,-1だけです。以上、零元と正則元(0,1,-1,i,-1)は素因数分解の対象にしない。

●「同伴」というのは二つの数p,qの間の関係です。pがqで割り切れてしかもqがpで割り切れるときには、pとqは同伴。こういうものは同一視しなくちゃいけない。具体的には、ある数(a+bi)に正則元をかけ算すると同伴の数を作ることができる。（だから、普通の整数の場合は aと-aが同伴の関係にあります。）
(5+2i)×i = (-2+5i),
(5+2i)×(-1)= (-5-2i),
(5+2i)×(-i)= (2-5i)
ですから、これらは全部同一視する。
というわけで、

「(a+bi),(-a-bi),(b-ai),(-b+ai)の４通りは同じ物とみなして区別は付けない」という約束のもとで、「素元分解は、一意的に可能」ということなんでした。

ちなみに、普通の整数の場合には「aと-aの２通りは同じ物と見なして区別をつけない」という約束のもとで、「素元分解（素因数分解）は、一意的に可能」ということなんでした。

お礼

ありがとうございました。15分くらい、じーっと眺めて、どうやら納得がいきました。整数の範囲で「１」を掛けるのと「－１」を掛けるのを同一視する、というのを、複素数まで拡大する場合には「i」と「-i」まで広げる、という感じですね。
　せっかく知り合った「一意性くん」と別れなきゃいけないかと思ってましたので、ほっとしました。本当にありがとうございました。

回答No.2

stomachman

タイプミスしちゃいました。
> 具体的には正則元は1,-1,i,-1だけです。以上、零元と正則元(0,1,-1,i,-1)は...

というのは「 1,-1,i,-i だけ」「(0,1,-1,i,-i)」の打ちそこないです。