虚数・複素数の三乗根について

質問

高1の数学の基礎知識程度は持っている中3です。
三次方程式に興味を持ち、解き方を調べていたところ、
　(√3i)/9の三乗根の一つは、(3+√3i)/6
という表記がありました。
確かに (3+√3i)/6 を三乗すると、(√3i)/9 になるのは分かりますが、
どのようにして (√3i)/9 から、(3+√3i)/6 が求められるのか全く分かりません。
かなり長い期間悩んでいます。その方法を分かりやすく解説してくださるとありがたいです。
よろしくお願いします。

回答No.4

Mr_Holland · ベストアンサー

(√3i)/9の三乗根を解く問題は、3次方程式にすることと、その3次方程式がある形に因数分解できることを利用して解きます。

　先ず、(√3i)/9の三乗根をｘとおくと、次の方程式が得られます。
　　x^3＝(√3i)/9
　　　　＝i/(√3)^3
　この式から三乗根の1つが-i/√3であることが分かります。
　そこで、この値-i/√3をaと置きますと、最初の方程式は次のようになります。
　　x^3＝a^3
　⇔x^3-a^3＝0
　ここで、因数分解の公式A^3-B^3=(A-B)(A^2+AB+B^2)を利用します。
　⇔(x-a)(x^2+ax+a^2)＝0
　∴x＝a, x^2+ax+a^2＝0
　この式のx＝aは、最初に求めた三乗根-i/√3を示すものなので、他の解は2次方程式x^2+ax+a^2＝0のなかにあります。
　これを2次方程式の解の公式を使って解きますと、
　　x＝{-a±√(a^2-4a^2)}/2
　　　＝a(±i√3-1)/2
　ここでa＝-i/√3を代入しますと、
　　x＝-i/√3×(±i√3-1)/2
　　　＝(±√3+i)/(2√3)
　　　＝(±3+i√3)/6
　これから、三乗根は次の3つであることが分かります。
　　ｘ＝-i/√3、(±3+i√3)/6

　三乗根の1つ(3+√3i)/6は上の解の2つ目の項の1つであることが分かります。

お礼

なるほど！
そのような考え方があったのですね。
とても分かりやすい説明を早速ありがとうございます。
こんなところでも因数分解が使えるなんて驚きです。
これで問題も無事解決しました。

回答No.6

y_akkie

x^3=8の時は、x=2である事はすぐに分かると思いますけど、
x^3 = 7 + 5√2の時、x =1 + √2になるのはなぜ？という疑問に
似ているかと思います。

他にも、x = 3のとき、x^2 + 2x =15というのはすぐに分かると
思いますが、逆にx^2 + 2x = 15のとき、 もとのxの値はというと、
すぐには出てこないと思います。
なので、方程式を解いたりして元の値を求めるしかなくなるわけ
ですね。

このように、関数y = x^3にx=√3i/9を代入すれば、y =(3 +√3i)/6
というのはすぐに分かりますが、y=(3+√3i)/6であればxの値はいくら
かを求めるには、この場合も方程式を解いて解を求めるしかないわけ
ですね…。

実際にこのような原理を応用して圧縮アルゴリズムなどに応用されている
わけですが、圧縮したファイルを元に戻せる場合を可逆圧縮と呼び、元に戻せない場合を非可逆圧縮と呼んでいます。要するに加工した情報はそう簡単に元の形に復元できないという事です。

質問と全く関係のない事ばかり書いてすみませんが、せっかくなので
この機会に興味・関心を深めていただけたらと思い、書き込ませて頂き
ました…。

お礼

すみませんだなんてとんでもないです。
実際自分もそのようなことに興味を持っていたので、知らなかったことを知ることができてうれしいです。
ありがとうございました。

回答No.5

take_5

(√3i)/9＝(i)/(3√3)＝(-i/√3)＾3。　何故なら、3√3＝(√3)＾3、i＝(-i)＾3であるから。
後は、x＾3-a＾3＝(x-a)(x＾2＋ax＋a＾2)＝0において、a＝-i/√3としてxの3次方程式を解くだけです。

お礼

分かりました！
簡潔な回答をありがとうございます。

回答No.3

lick6

x^3 = √3i / 9 とします。
3√3 * x^3 - i = 0
f(x) = 3√3 * x^3 - i と置いて因数定理をつかって因数分解していきます。
ここで x = -i/√3 を代入してみると
f(-i/√3) = 3√3 * (-i/√3)^3 - i = 0
よって f(x) は (x + i/√3) を因数にもつ
3√3 * x^3 - i = 0
(√3x + i)(3x^2 - √3ix - 1) = 0
3x^2 - √3ix - 1 = 0 の解は
x = {√3i ± √-3 + 12} / 6
　 = {√3i ± 3} /6

お礼

なるほど。
そのように因数分解する方法があるのですね。
(-i/√3)^3 = √3i / 9 となることを思いつきませんでした。
回答をありがとうございます。

回答No.2

koko_u

複素平面で考えるのがわかりやすいかな。

とりあえず、√3/9 は忘れて、(cosθ+ i*sinθ)^n = cons(nθ) + i*sin(nθ) だから、虚数単位 i の三乗根は cos(π/6) + i*sin(π/6)

あとは√3/9 = 3^(-3/2) の三乗根は 3^(-1/2) から求める。

と、ここまで書いて、高1ではツラいか？と思たり。

お礼

大丈夫です。どうにか理解できる範囲内です。
虚数単位iの三乗根をそのように考えることができるのですね。
以前 i^(1/3)＝√3/2＋(1/2)i であるとただ教えられたことがあったので、考え方が分かって良かったです。
ありがとうございました。

回答No.1

rabbit_cat

(√3i)/9 の絶対値は、√3/9、偏角はπ/2ですから、
その３乗根は、絶対値が(√3/9)^(1/3)、偏角はπ/6または5π/6または3π/2です。

お礼

早速の回答をありがとうございます。
すみませんが、まだ偏角とかの知識がなくてよく分かりません。
また勉強します。