累乗根について

質問

塾で習ったのですが、分からないところがあるので質問します。

答えが
√64の5乗根となったのですが
64は2の6乗なので

2×2×2×2×2×2の5個だけを外に出して

2 5√2だそうで(きちんとした表記ができなくてすみません）

これは2の5乗、ルート2の意味合い、読みで合っていますか？
そこら辺の説明が分からなかったもので。
2とルート2の5乗根では無いのは確実なので、合っているとは思うのですが。

後、√49の12乗根で

49は7の2乗なので

12÷2で
√7の6乗根となるそうですが
先生曰く、この場合は、割り算が出来るという事だけ覚えておけばいいと言われました。
確かにそうなのですが

中学レベルの数学もあやふやな私にも分かるような説明の仕方がありましたら
12÷2ができる理由を教えてください。

質問二つありますが、どちらか一方だけでも構いませんので
回答お願いします。

回答No.3

kaztel-D4C · ベストアンサー

少し長くなりますが、よろしければ目を通してください。

質問にお答えする前に、細かいことですが前置きを。
一つ目の質問で、√６４の5乗根という書き方をなされていますが、それだと「√６４」の5乗根という意味合いになるので、
８の5乗根（8の1/5乗）の意味になってしまいます。（それだとお書きになっている答えとは全く違う値が出てきます。）
おそらく、64の5乗根（64の1/5乗）という意味で書かれたと思うので、そのつもりで質問にお答えします。二つ目の質問も同様です。

まず、25√2の読み方ですが、答えから言うと
（2^5）×√2ではなく
2×（2の5乗根）です。2^5は、2の5乗という意味です。以下、累乗は同じ記号を使います。

解き方ですが、64=2^6より、64の5乗根は、(2^6)の5乗根と書けます。
よって、2^6=(2^5)×2とおくと、
((2^5)×2)の5乗根＝｛(2^5)の5乗根｝×(2の5乗根)＝2×(2の5乗根)となり、
数字で書くと、2^5√2となり、見分けがつきにくい形の答えとなります。

二つ目の質問で、12÷2ができる理由を説明します。
例えば、(a^(1/3))^3→aの1/3乗の3乗　という式を簡単にすると、
(a^(2/3))^3=a^((2/3)×3)=a^2となります。これを日本語で言うと、
aの2/3乗は、3乗することによりaの2乗となる
という意味ですから、文章上うまく表記出来ませんが、質問者の方の書き方に合わせて累乗根で書くと
a^(2/3)=3√(a^2)→a^2の3乗根　となります。（これは一般に、2つの自然数m,nに対し、a^(m/n)=m√nが成り立ちます）

よって、49の12乗根について同様に考えると、
12√49=12√(7^2)=7^(2/12)=7^(1/6)=6√7
となります。
要するに、累乗根の形は、何かしらの分数乗で書けるということで、その際の分数が約分できる時、また累乗根に戻した時に簡単な式に変わるということです。今回の問題では49=7^2における「2」と、12乗根における「12」が約分できる関係だったので、12÷2が出来たということです。

実際こういった累乗根の式を簡単にする場合、何かしらの分数乗の形に直して考えるのが得策かと考えます。

非常にわかりにくい説明となってしまいましたが、いかがでしょうか。
見やすい説明は学校の教科書の指数法則、および累乗根の性質のページに書かれているので、目を通してみてください。長文、失礼いたしました。

お礼

皆さんご回答ありがとうございます。
一番分かりやすかったkaztel...さんをベストアンサーにさせていただきます。

先生から√64の5乗根と言われたので、それが正解と思い込んでいましたが
先生自体、間違っていたんですね...

回答No.2

harusame329

5乗根の表記ができないので5√が五乗根だとしてみてください

まずはじめの問題についてなのですが

5√64＝5√2＾5*2

　　　　＝5√2＾5　*　5√2

　　　 ＝2*5√2

ということなので　　2　かける　2の五乗根　　です

答えが心配なら、出た答えが問題にだいたい当てはまるかということを考えたほうがいいですよ

例えば、2＾5*√2＝32√2　となります

5√64（五乗して64になる数）が32以上というのは考えられませんよね？

2つ目は累乗根の性質というものにあるのでそちらを見てもらってはどうでしょう？

参考URL：

http://t2.gstatic.com/images?q=tbn:ANd9GcQA0mK__Ro7EoDfv_WrLU4CKqR9LVW62tJ1YpewLcjf8zPbTE1H3Q

回答No.1

asuncion

＞√64の5乗根となった

根号√を書くことで話がややこしくなっているように見えます。
要するに「64の5乗根=64^(1/5)」ということなんですよね？
だとすると、
64^(1/5)=(32×2)^(1/5)
={32^(1/5)}×{2^(1/5)}
=2×{2^(1/5)}

読み方は、「2かける、2の5乗根」です。

＞√49の12乗根で

これも、要するに「49の12乗根=49^(1/12)」のことですね？
だとすると、
49^(1/12)=(7^2)^(1/12)
=7^(2×1/12)
=7^(1/6)