循環小数について

質問

10進法で表された正の数Nがある。Nを５進法で表すと整数部分が２けたの循環小数xy.z(zの上にドット）となる。
また、N-1を７進法で表すと整数部分が２けたの循環小数zy.x(xの上にドット）となる
このとき整数x,y,zの値を全て求める問題で

確認の為にもう一度教えてください
N = (20x + 4y + z) / 4
N = (42z + 6y + x) / 6 + 1
Ｎを消去して
58x - 81z = 12
参考書の答えは
0≦x,y,z≦4で、ｘ、ｚ≠0より
(i)
z=2のときx=３,y=0,1,2,3,4
(ii)
z=4のときxは整数とならず不適と書いてあるのですが

これは

xy.z(zの上にドット）の先頭が0では駄目のでX=1～４
zy.x(xの上にドット）の先頭が0では駄目のでZ=1～４
yは
、「5進法表記から導き出されたNの値」と「7進法表記から導かれたNの値」を一致させるにy=1～4と考えていいですか？
計算すると
x=1のときz＝46/81
x=2のときz=128/81
x=3のときz=2
x=4のときz=220/81

ｙ=1,2,3,4(五進数より）と考えたのですが合っていますか？

回答No.1

Mr_Holland · ベストアンサー

＞xy.z(zの上にドット）の先頭が0では駄目のでX=1～４
＞zy.x(xの上にドット）の先頭が0では駄目のでZ=1～４
この２つはOKです。

＞yは「5進法表記から導き出されたNの値」と「7進法表記から導かれたNの値」を一致させるにy=1～4と考えていいですか？
この２つの関係式からはｙについては何の制約条件も得られません。
ｙについて言えることは、せいぜい５進数表記の１桁の表示をするということなので、y=0,1,2,3,4の５通りの答えがあることになります。

＞計算すると
＞x=1のときz＝46/81
＞x=2のときz=128/81
＞x=3のときz=2
＞x=4のときz=220/81
ｘについてすべての候補で計算してみたのですね。
これでも求められますが、もっと候補の数を絞り込んで求めることもできます。

＞58x - 81z = 12
この式について、ｘとｚが自然数であることに踏まえて注意してみます。
58xは常に偶数で、右辺も12で偶数です。
したがって、この等式が成り立つためには、81zも偶数でなければならないことが分かります。
81zが偶数であるためには、ｚが偶数でなければなりません。
ｚの候補は、z=1,2,3,4であったことを思い出せば、このうちの偶数ですから、z=2,4の2通りしかありません。
そこで、z=2について計算してみると、x=3になる。（ただしｙについては条件なし）
また、z=4について計算すると、x=6.137・・・と自然数にならないからz=4では条件を満たさず不適であることが分かる、ということになります。

お礼

返事が遅くなってすいません。
納得しました。
丁寧ね説明どうもありがとうございます。

回答No.3

Mr_Holland

＃２さんのコメント
＞というかそもそもN=の式が間違ってないですか？
について混乱するといけないので、一言説明を加えます。

「Nを５進法で表すと整数部分が２けたの循環小数xy.z(zの上にドット）となる」ことからNを次のように表せます。
N＝5x+y+z/5 ×(1+1/5+1/5^2+1/5^3+・・・・）
ここで、カッコ内の計算は高校数学で習う等比級数を使って、
1+1/5+1/5^2+1/5^3+・・・・＝1/(1-1/5)＝5/4
になり、その結果、
N＝5x+y+z/4
となり、質問にかかれた式と同じ式が導かれます。
（suika_11さんが中学生だとしたら、等比級数は知らないだろうから、
「ｎ進数表記で小数点以下がｋの循環小数で表されるとき、その小数部分はk/(n-1)で表せる」
などというヒントが問題文から与えられていたのではないでしょうか。）

以下同様に、「N-1を７進法で表すと整数部分が２けたの循環小数zy.x(xの上にドット）となる」について表すと、
N-1＝7z+y+x/7×(1+1/7+1/7^2+1/7^3+・・・・）＝7z+y+x/6
∴N＝7z+y+x/6＋１
と質問にかかれた式と同じ式が導かれます。

回答No.2

rtz

というかそもそもN=の式が間違ってないですか？