循環小数の問題と部分分数型の積分問題

質問

[循環小数の問題]
1/17=0.0588235294117647・・・（以下0588・・・と循環）
である。この循環する上下8行について
05882352+94117647=99999999
となるのはなぜか説明せよ、という問題なのですが、解答の前半部分で、
1/17=588235294117647/((10^16)-1)　（←これはわかる）
よって小数点以下16位まで循環するため、
(10^n)-1 0≦n≦15 は17の倍数でない　（←ここの部分がわからない）
とあります。理由が分かりません。なぜでしょうか。

[部分分数積分問題]
1/(x-1)(x+1)^2 の不定積分を求めよ　という問題で、
自分は a/(x-1) + b/(x+1) + c/(x+1) = 1/(x-1)(x+1)^2
とおいて、（何も考えず定石を使えば皆こうすると思う）
a,b,cの値を求めようとしたのですが、これではダメでした（定まらない）。
そして解答を見ると、　　　↓ここが自分のやり方と違う
a/(x-1) + b/(x+1) + c/((x+1)^2) = 1/(x-1)(x+1)^2
と置く、と書いてありました（こうすると値が定まる）。
・・・このように置く、という考え方はどこから出てきたのでしょうか。

回答No.1

R_Earl · ベストアンサー

循環小数の問題は分からないので、もう片方の方だけ答えます。

> [部分分数積分問題]
> 1/(x-1)(x+1)^2 の不定積分を求めよ　という問題で、
> 自分は a/(x-1) + b/(x+1) + c/(x+1) = 1/(x-1)(x+1)^2

a/(x-1) + b/(x+1) + c/(x+1)を計算して、分母が(x-1)(x+1)^2になるようにすると、
分子にはx^2の項、xの項、定数項の3つが出てきます。
3つの項に対応させるためには、文字式が3つ必要です(質問者さんが使ってるa, b, cの3つ)。
そこまでは良いんです。
ところが、質問者さんの式では文字式が3つ(a, b, c)あるようで、実質は2つしかないんです。
分母が(x + 1)のものが二つあります。
b + c = dとおけば、

a/(x-1) + b/(x+1) + c/(x+1)
= a/(x-1) + d/(x+1)

となります。だから、実質文字式はa, dの2つです。
文字式2つでは3つの項に対応できないので、答えがでません。

基本的に、分母が同じ項は1つにまとめられるので（先ほど挙げた、b/(x+1)とc/(x+1)のように）
分母が違う3つの式を使う必要があります。

解説で最後にc/((x+1)^2)を使っているのはそういう理由からです。
こうすると使用する文字式が実質3つのままになるんです。

お礼

確かに結局未知数２つしかおいてませんでした・・・。あと、
＞文字式2つでは3つの項に対応できないので、答えがでません。
のところはなんか目から鱗でした。
二人ともわかりやすい解答をありがとうございました。

回答No.3

Tacosan

ついでに後半の方:
これはいろんな考え方があるんだけど, 1つの方法としてこんなのもあります.
分母を見てください. (x-1)(x+1)^2 ですね.
ということで, 分解して得られる分数の分母は x-1 と (x+1)^2 とします. 「同じ因数はなるべくとれるだけとる」ということです.
そして, それぞれの分数の分子の次数を「分母の次数-1」で置くことにします. つまり a/(x-1) と (bx+c)/(x+1)^2 です.
この 2つを足してもとの 1/(x-1)(x+1)^2 となるように a, b, c を決めれば OK.

回答No.2

Tacosan

n = 0 だと 17 の倍数になるんだけど, それはさておいて対偶を考えればわかりやすいはず.
例えば 10^8-1 が 17 の倍数だとすると, 1/17 を筆算で計算していくと 8桁目で余りが 1 になります. ということは, そこから再び 1/17 の計算が初まるので「小数第16位まで循環する」ということに反してしまいます.
1/13 なんかを筆算で計算してみるとわかるんじゃないかな.

お礼

すいません、n=0は解答に含まれていませんでした。自分のミスです。
二人ともわかりやすい解答をありがとうございました。