分数・小数とｎ進法の関連

質問

数Ａです。整数の単元で、分数・小数を学習した後にｎ進法を学習しました。

数学って、いろんなことが関連しあっていて面白いです。
でも、分数・小数（循環小数）とｎ進法の関連性がよくわかりませんでした。単に整数に関すること、というくくりで同じ単元の中で学習したのでしょうか？
それとも何か関連があるのでしょうか？
そんなに深い関連がないような気がするので、ｎ進法を学習してから分数・小数を学習しても支障がないような気がします。

回答よろしくお願いいたします。

回答No.4

noname#195146 · ベストアンサー

分数については、何進数なのかは、あまり関係ありません。とりあえず、分子nと分母m（≠0）が整数だとして、n/mですが、そのn, mは何進数でもいいです。

　小数について考えてみますが、その前に10進数の自然数を考えます（以下、m^nはmのn乗：エクセルでも使える記法）。

　123は、1×10^2＋2×10^2＋3×10^0ということですね。m桁の整数なら10^(m-1)から10^0までが同じように足算になります。

　10進数の小数も同じようなものです。0.123なら、1×10^(-1)＋2×10^(-2)＋1×10^(-3)となります。123.123なら1×10^2＋2×10^2＋3×10^0＋1×10^(-1)＋2×10^(-2)＋1×10^(-3)です。10^nでnが1ずつ減るように並んでいきます。

　これは10進数だから10の何乗で表しています。10進数でなく、2進数なら2、8進数なら8です。一般化してn進数なら、nの何乗を使って表していくわけですね。n進数の小数点以下も10進数の10をnに変えて、0.123なら1×n^(-1)＋2×n^(-2)＋1×n^(-3)と表せます。このことは、循環小数であっても同じです。

P.S.

　ただ、10進数の有限小数が2進数の循環小数になったりします（その逆もある）。このため、コンピュータは2進数計算なので（表示は16進数）、10進数では有限小数で誤差なく計算できるものでも、2進数計算のコンピュータでは循環小数になり、有限桁で打ち切って計算するため、誤差が生じることがあります（計算可能桁数を増やしたり、10進演算するなどして回避したりする）。

回答No.5

noname#195146

#4です。

　読み直して、nとmの使い方で誤解を招きやすい記述に気が付きました。

誤>　10進数の小数も同じようなものです。0.123なら、1×10^(-1)＋2×10^(-2)＋1×10^(-3)となります。123.123なら1×10^2＋2×10^2＋3×10^0＋1×10^(-1)＋2×10^(-2)＋1×10^(-3)です。10^nでnが1ずつ減るように並んでいきます。

　これの前でm桁の自然数について述べ、この次にn進数を持ち出しているので、n桁とn進数が混乱してしまう記述でした。お詫びして、nをmに訂正し、少し付けたしもいたしたく存じます。

正>　10進数の小数も同じようなものです。0.123なら、1×10^(-1)＋2×10^(-2)＋1×10^(-3)となります。123.123なら1×10^2＋2×10^2＋3×10^0＋1×10^(-1)＋2×10^(-2)＋1×10^(-3)です。10^mでmが1ずつ減るように並び、それがマイナスまで及んでいきます。

回答No.3

customar

それ以前に先の０．１の二進数変換は桁違い。

関連とかでなく、
他に持って行きどころは？
くくる相手がいるか、他にいねえかで。
表記法まで考え始めるようなこれ以上数学学習を悩ましいものにしたくないという横着と共に。つまり勉強した後の頭でそう言うのは、たやすい事よで。

指数表記は教えてもｎ進法は情報学あたりでやってくれが教育現場の本音だからなのでは。２のマイナス３乗の小数表記を間違えない数学学習者なら。

学校教育の限界上、支障ありで。つまり質問者さんの提案は、くくったものをバラけろになってしまい他分野の学習過程に新たな溝を追加する事になる。

回答No.2

stomachman

「n進法」ということと「小数」ということは、数を文字で書き表す表し方の話に過ぎません。一方、整数・分数（有理数）というのは、数そのものの区別であり、書き表し方とは無関係な、もっと本質的な違いです。

　分数も、循環小数あるいは有限桁の小数も、有理数の表現（文字による書き表し方）です。循環小数あるいは有限桁の小数はかならず（分子・分母ともに整数である）分数で表せるし、どんな（分子・分母ともに整数である）分数も、循環小数か有限桁の小数で表せる。これは何進法でも同じです。
　もちろん「10進数では分数(無限小数)になる数が、12進数では整数になったりする」なんてことは決してありませんで、何進数でも整数は整数。（ANo.1の例のどこが間違っているかというと、数の書き表し方（表現）と数そのものとの区別がごっちゃになっているんです。「10進数では分数(無限小数)になる数が、12進数では整数になったりする」と言いながら、示しているのは「ある文字列を10進数だと思って読むとそれはある数を表しているが、同じ文字列を12進数だと思って読むとそれは別の数を表している」という例に過ぎません。）
　ついでに、無理数（たとえば円周率や、2の平方根）は整数でも有理数でもなく、小数で書き表すと循環しない無限小数になり、（分子・分母ともに整数である）分数では表せません。これも何進法でも同じです。

　　整数を学ぶには「整数でないもの」を知ることも大切でしょう。ですから、有理数や無理数についても知るべきです。ですが、n進法ということは、仰る通り、あんまり関係ないように思います。

回答No.1

ORUKA1951

＞分数・小数（循環小数）とｎ進法の関連性がよくわかりませんでした。
　10進数では、分数(無限小数)になる数が、12進数では整数になったり・・
　10進数の0.1は、2進数だと循環小数0.001100110011・・・・
　12進数の10/3は、4です。整数になっちゃう。
一日--24時間はは、2でも3でも4でも6でも割れる。