曲面積

質問

柱面
x^2+y^2=ax
の内部にある曲面
z^2=4ax
の面積Sを求めよ。ただし、aは定数である。

x^2+y^2=ax
を変形して
{x-(a/2)}^2+y^2=(a/2)^2
y=√(ax-x^2)
としてDの範囲が0≦x≦a/2 0≦y≦√(ax-x^2)
わかる為、f(x,y)=z=√(4ax)とし下記の公式
∬√{1+f_x(x,y)^2+f_y(x,y)^2}
に代入すれば良いのでしょうか？
すいませんが、教えて下さい。

回答No.2

alkantala · ベストアンサー

この問題の場合は極座標を使わない方が楽に計算できます。
D={0≦x≦a, -√(ax-x^2)≦y≦√(ax-x^2)}
を使って重積分
∬_D √{1+√(a/x)^2+0^2}dxdy
= ∬_D √{1+(a/x)}dxdy
を累次積分になおすと
=∫_{0}^{a}∫_{-√(ax-x^2)}^{√(ax-x^2)} √{1+(a/x)} dydx
ここで∫_{A}^{B} はＡからＢまで積分する事を表します。
また積分の順序はｙが先で次がｘです（念のため）
ｙに関する積分は被積分関数がｙに無関係なので簡単に計算できて
= ∫_{0}^{a} 2×√(ax-x^2)×√{1+(a/x)} dx
= 2 ∫_{0}^{a} √(a^2-x^2) dx
ここで∫_{0}^{a} √(a^2-x^2) dx は原点中心の
半径aの円の第一象限での面積を表しますから (1/4)πa^2 です。
（もちろん普通に積分を計算してもＯＫです。）
従って　
2 ∫_{0}^{a} √(a^2-x^2) dx = 2(1/4)πa^2 = (1/2)πa^2
となります。

極座標を使った方が計算が楽な場合とそうでない場合がありますので、
うまくいかないときは別の計算法を試してみるとよいでしょう。

お礼

回答ありがとうございます。
本当にやさしく書いて頂いてありがとうございます。
本当に感謝です。
極座標は使わないんですね。
>また積分の順序はｙが先で次がｘです（念のため）
↑これはよかったです。

回答No.1

alkantala

> Dの範囲が0≦x≦a/2 0≦y≦√(ax-x^2)
{x-(a/2)}^2+y^2=(a/2)^2
は中心が(a/2,0), 半径がa/2 の円ですから
積分する範囲は 0≦x≦a, -√(ax-x^2)≦y≦√(ax-x^2) ですね。
被積分関数が z^2=4ax　なのでこれはxy平面より上の部分と
下の部分があります。ですから曲面積Ｓは
f(x,y)=√(4ax)
D={0≦x≦a, -√(ax-x^2)≦y≦√(ax-x^2)}
として
∬√{1+f_x(x,y)^2+f_y(x,y)^2}dxdy
に代入したものの２倍です。
被積分関数 √(4ax) は y について偶関数ですから、
f(x,y)=√(4ax)
D'={0≦x≦a, 0≦y≦√(ax-x^2)}
として
∬√{1+f_x(x,y)^2+f_y(x,y)^2}dxdy
に代入したものの４倍としてもＯＫです。

補足

回答ありがとうございます。
この問題の答えが(1/2)πa^2
となっているのですが、
極座標に変換するのでしょうか？
極座標変換すると
x=rcosθ
y=rsinθ
となり
∬√{1+f_x(x,y)^2+f_y(x,y)^2}dxdy
=∬√{1+√(a/x)^2+0^2}dxdy
=∬√{1+a/(rcosθ)} rdrdθ
=∬√{r^2+ar/cosθ} drdθ
となりました。
申し訳ないのですが、
∬√{r^2+ar/cosθ} drdθ
の途中式を教えて頂けないでしょうか？
よろしくお願い致します。