曲面積

質問

（１）x＋y＋z＝１　　　　x、y、z>=0の部分の面積
　　答えは√３/２とあるのですが以下のような考えだとどこが間違っているのでしょうか？
　　z＝１-x-y D=｛0<=x<=1 0<=y<=1｝とすると
zx=-1 zy=-1
S＝∫（０→１）dx∫（０→１）√３　dy
　＝√３
（２）x＾２＋y＾２＝a^2(a>0)の内部にある円柱面x^2+z^2=a^2の表面積
　　上記の面積を表す式のf（x、y）としてz＝√（a^2-x^2）　　　D=｛x^2+z^2<=a^2｝
と考えたのですが計算途中で明らかにややこしく、間違っているのだと思いました
　　どのように考えればよいのでしょうか？
（３）錐面x^2+y^2=z^2z (z>=0)が球面x^2+y^2+z^2=a^2　(a>0)により切り取られる面積
　　 これについてはお手上げです。何をf(x,y)にするのかDが何かもわかりません。
　　どなたかご教授頂けたら幸いです。

回答No.3

info22_ · ベストアンサー

#1,#2です。

A#2の補足について

(2)について
>>最初の式(★)は上下の曲面全体の曲面の面積を表し、
>>　(A)の領域の面積を「4」倍すれば上半分の曲面の面積となります。
>ここの文がうまくかみ合いません・・・
>上下の曲面全体の曲面の面積とは求める曲面積とは違うのでしょうか？

折角、図を付け、説明しても、日本語の読解力不足のようですね。
数学は国語の読解力不足で理解できず分からないこともありえます。
もっと図と説明文をじっくり眺め意味を理解しましょう。

更に図を書いて積分領域と曲面の対応と積分の式の対応を説明しておきます。理解出来るかはわかりませんが？

添付図の曲面(1)から曲面(8)までを併せた曲面全部が切り取られた曲面で、これらの合計の面積が求める面積であることはお分かりですか？
(1)～(8)の８つの曲面の面積は全て等しいことは、切り取られた全体の曲面がxy座標平面、yz座標平面,xz平面のいずれに対しても面対称であることから明らかですがここまではお分かるですか？

求める面積Sの曲面をz≧0の部分((1)～(4))とz<0の部分（(5)～(8)）に分ける。前者の曲面の面積Sa((1)～(4)の面積),後者の曲面の面積Sb（(5)～(8)の面積）とおくと 両曲面はz=0の面（xy座標平面）に面対象なのでSa＝Sb。

　S=Sa+Sb=2Sa=2∬[D] √(1+zx^2+zy^2)dxdy,D={(x,y)|x^2+y^2<=a^2}
ここでz=√(a^2-x^2),√(1+zx^2+zy^2)=a/√(a^2-x^2)なので
　Sa=∬[D] a/√(a^2-x^2)dxdy,D={(x,y)|x^2+y^2<=a^2}
Saは(1)～(4)を併せた曲面の面積です。
(1)の面積をS1、(2)の面積をS2、(3)の面積をS3,(4)の面積をS4とすると
　Saの曲面(z=√(a^2-x^2)は平面x=0（yz座標平面）及び平面y=0（xz座標平面）に対して面対称なのでS1=S2=S3=S4。従って
　Sa=S1+S2+S3+S4=4S1
=4∬[D1] a/√(a^2-x^2)dxdy,D1={(x,y)|x^2+y^2<=a^2,x≧0,y≧0}
　S=2Sa
=8S1
　　=8∬[D1] a/√(a^2-x^2)dxdy,D1={(x,y)|x^2+y^2<=a^2,x≧0,y≧0}
ここでS1は添付図の(1)の曲面（水色の曲面）の面積です。

以上の説明でお分りになりましたでしょうか？

補足

お手数かけてすいませんでした。
曲面全体の面積という言葉が８S１ではなく、
S1＝S2＝S３＝S4を指したものという部分が
読み取れなかっただけなので式の意味自体は前回の補足で理解しています。

回答No.2

info22_

#1です。

A#1の補足質問の回答

>（２）
>>S=2∬[D} a/√(a^2-x^2) dxdy　…(★)
>ここの２がzのxy平面で区切られた上半分と下半分を表したものですよね？

z=0(xy座標平面）について上半分と下半分の曲面が対称なので、下半分の曲面面積が上半分の曲面面積に等しいことから、上半分の曲面面積の「2」倍が切り取られる上下の合せた曲面になります。

>とすると

＞対称性より
=2*4∫[0,a] a/√(a^2-x^2)dx∫[0,√(a^2-x^2)] dy
>最初の式ではx>=0 y>=0の範囲しか表していないということですか？

違います。最初の式(★)は上下の曲面全体の曲面の面積を表し、
　∬[D} a/√(a^2-x^2) dxdy
は上半分の曲面の面積（添付図の青格子の曲面の面積）を表します。

>どこからそれを読み取ればいいのか教えてくださらないでしょうか？
　Dとz=√(a^2-x^2)から読み取れば良いでしょう。

添付図の青い格子の曲面が上半分の曲面になりますが、この曲面も
x=0平面（yz座標平面）に対称、かつ、y=0平面(xz座標平面)にも対称なので、
(A)x≧0,y≧0(z≧0),(B)x≧0,y≦0(z≧0),
(C)x≦0,y≧0(z≧0),(D)x≦0,y≦0(z≧0)
の4つの部分の曲面の面積は同じなので(A)の領域の面積を「4」倍すれば上半分の曲面の面積となります。
　∫[0,a] a/√(a^2-x^2)dx∫[0,√(a^2-x^2)] dy
は(A)の領域の曲面の面積を表す式です。添付図でx,yの積分範囲が(A)の領域の曲面のz=0の平面(xy座標平面)への投影になっていることを確認してみて下さい。

補足

＞最初の式(★)は上下の曲面全体の曲面の面積を表し、
＞　(A)の領域の面積を「4」倍すれば上半分の曲面の面積となります。
ここの文がうまくかみ合いません・・・
上下の曲面全体の曲面の面積とは求める曲面積とは違うのでしょうか？

回答No.1

info22_

(1)
>z＝１-x-y D=｛0<=x<=1 0<=y<=1｝とすると
D間違い。
D={(x,y)|0<=x<=1,0<=y<=1-x}
zx=-1 zy=-1
S=∫[0,1]dx∫[0,1-x] √3 dy
=∫[0,1] (√3)(1-x)dx
=(√3)[1-(1/2)]=(√3)/2

(2)
>z＝√（a^2-x^2）, D=｛x^2+z^2<=a^2｝(a>0)
z,D間違い。
z=√(a^2-x^2)(上半分)および　z=-√(a^2-x^2)（下半分）
D={(x,y)|x^2+y^2<=a^2}
z=√（a^2-x^2）の時
zx=-x/√(a^2-x^2),zy=0
√(1+zx^2+zy^2)=a/√(a^2-x^2)
S=2∬[D} a/√(a^2-x^2) dxdy
対称性より
=2*4∫[0,a] a/√(a^2-x^2)dx∫[0,√(a^2-x^2)] dy
=8∫[0,a] adx
=8a^2

(3)
>錐面x^2+y^2=z^2z (z>=0)が球面x^2+y^2+z^2=a^2　(a>0)により切り取られる。
錐面の式が間違い。

錐面x^2+y^2=z の場合
D={(x,y)|x^2+y^2<=√{a^2-(1/4)}-(1/2)
zx=2x,zy=2y,√(1+zx^2+zy^2)=√(1+4x^2+4y^2)
S=∬[D]√(1+4x^2+4y^2)dxdy
で計算できます。

補足

（２）
＞S=2∬[D} a/√(a^2-x^2) dxdy
ここの２がzのxy平面で区切られた上半分と下半分を表したものですよね？
とすると

＞対称性より
=2*4∫[0,a] a/√(a^2-x^2)dx∫[0,√(a^2-x^2)] dy
最初の式ではx>=0 y>=0の範囲しか表していないということですか？
どこからそれを読み取ればいいのか教えてくださらないでしょうか？