円柱と球面の囲まれる部分の体積曲面積を求める問題で

質問

円柱S1:x^2+y^2=axと球面S2:x^2+y^2+z^2=a^2,a>0を考える。
(1)S1とS2によって囲まれる部分の体積を求めよ。
(2)球面S2が円柱S1によって切り取られる部分の曲面積を求めよ。
という問題がわかりません。　解説を加えてもらえると幸いです。
よろしくお願いします。

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

円柱S1:x^2+y^2=ax ...(A)
球面S2:x^2+y^2+z^2=a^2 ...(B)

x=rcosφ,y=rsinφ,z=zとおいて円筒（円柱）座標に変換する。
円柱S1:r=acosφ(-π/2≦φ≦π/2) ...(A')
球面S2:r^2+z^2=a^2(0≦r≦a) ...(B')

(1)
V=∫∫∫{x^2+y^2+z^2≦a^2,x^2+y^2≦ax} dxdydz
=∫∫∫{r^2+z^2≦a^2,0≦r≦acosφ,-π/2≦φ≦π/2} rdrdφdz
=4∫∫∫{0≦z≦√(a^2-r^2),0≦r≦acosφ,0≦φ≦π/2} rdrdφdz
=4∫[φ:0→π/2} dφ∫[r:0→acosφ]rdr∫[z:0→√(a^2-r^2)dz
=4∫[φ:0→π/2} dφ∫[r:0→acosφ]r√(a^2-r^2)dr
=4∫[φ:0→π/2} dφ[-(1/3)(a^2-r^2)^(3/2)][r:0→acosφ]
=4∫[0→π/2} (1/3)[a^3-a^3*(sinφ)^3]dφ
=(4/3)a^3∫[0→π/2}{1-(sinφ)^3]dφ
=(4/3)(π/2)a^3-(1/3)a^3∫[0→π/2}4(sinφ)^3 dφ
=(4/3)(π/2)a^3-(1/3)a^3∫[0→π/2} {3sinφ-sin(3φ)}dφ
=(2/3)πa^3-(1/3)(a^3)[-3cosφ+(1/3)cos(3φ)][0→π/2}
=(2/3)πa^3-(1/3)(a^3){3-(1/3)}
=(2/3)πa^3-(8/9)a^3
=2(3π-4)(a^3)/9

(2)
球面S2が円柱S1によって切り取られる部分の曲面積は対称性から
z=f(x.y),D={(x,y)|x^2+y^2≦ax,x^2+y^2+z^2≦a^2,0≦z}とおくと
S=2∫∫{D} √{1+(fx)^2+(fy)^2}dxdy
=2∫∫{D} √{1+(fr)^2+(fφ/r)^2}rdrdφ
z=f(r,φ)=√(a^2-r^2)
fr=∂f/∂r=-r/√(a^2-r^2),fφ=∂f/∂φ=0
D→E={(r,φ)|0≦r≦acosφ,-π/2≦φ≦π/2}
E→E2={(r,φ)|0≦r≦acosφ,0≦φ≦π/2}
なので
S=2∫∫{E} √{1+(fr)^2} rdrdφ
=2∫∫{E} r√{1+r^2/(a^2-r^2)} drdφ
=2a∫∫{E} r/√(a^2-r^2) drdφ
=4a∫∫{E2} r/√(a^2-r^2) drdφ
=4a∫[φ:0→π/2] dφ∫[r:0→acosφ] r/√(a^2-r^2) dr
=4a∫[φ:0→π/2] dφ[-√(a^2-r^2)][r:0→acosφ]
=4a∫[0→π/2] (a-asinφ)dφ
=4a^2∫[0→π/2] (1-sinφ)dφ
=4(a^2)[φ+cosφ][0→π/2]
=4(a^2){(π/2)-1}
=2(π-2)(a^2)