陰関数と偏微分

質問

１）z^x=y^zで表される陰関数zx,zyを求める上でどうすればいいのか分かりません。
２）以前x^2+y^2+z^2+2x+2y+2z=0で表される陰関数のｚｘを求めなさいという問題での疑問を出したところz＾２をxで偏微分したときに２・z・zx 、y^2をxで偏微分すると０になると返ってきたのですが、どうして0になるのでしょうか？
２ｙ・ｙｘとなるならわかるのですが。またｚ＝の形にしてからという答えもあったのですが、それは（z＋1）＾２に平方完成してから√にしてやれって事でしょうか？答えがぜんぜんちがったものですから。
３）x^2+y^2+z^2＝a^2,x^2+y^2=2ax で陰関数のdy/dx,dz/dxをもとめさせるもんだいがあったのですが、dy/dxをもとめるうえで、ｆｙとｆｘをもとめたわけなんですが、後の式を使えばでますが、前の式は何に使うのでしょう。dz/dxをもとめるうえで、ｆｚ、fxを求めようとしたのですが、ｆｚ＝２ｚ　ｆｙ＝２ｙとやってはいけないのですか？しかも答えにはaがでてきました。

回答No.3

stomachman · ベストアンサー

(1)では、偏微分zx, zyを求めろ、という注文から以下のことが推測できます：
z(x,y)という関数を問題にしていて、xとyが独立変数である。そして、z(x,y)は
z(x,y)^x = y^z(x,y)
という式を満たす。正確に書けば
z:X×Y→Z
∀x∀y((x∈X ∧ y∈Y) ⇒ z(x,y)^x = y^z(x,y))
ここにX,Yはzの定義域、Zは値域です。冪乗を使っているところを見ると
X⊂C, Y⊂C, Z⊂C (Cは複素数（あるいは実数)の集合）
ってことでしょうね。
zxてのは(∂z/∂ｘ)のことですから、yを定数として上記の恒等式の両辺をxで微分してみれば良い。
冪乗の肩に乗ってる関数の微分をやるときに両辺の対数を取ってみるのは、「対数微分法」って言います。

(2)も、偏微分zxを求めろという注文から、以下のように考えられます：
z(x,y)という関数を問題にしていて、xとyが独立変数である。そして、z(x,y)は
x^2+y^2+z(x,y)^2+2x+2y+2z(x,y)=0
という式を満たす。正確に書けば
z:X×Y→Z
∀x∀y((x∈X ∧ y∈Y) ⇒ x^2+y^2+z(x,y)^2+2x+2y+2z(x,y)=0 )
ってことでしょう。
で、yをxで偏微分するというのは「yを定数にして、yをxで微分する」ということであって、yは定数なんだから∂y/∂x=0です。

さて、∂z/∂xを計算するには、試しにとりあえず両辺をxで偏微分してみますと、
∂(x^2)/∂x+∂(y^2)/∂x+∂(z(x,y)^2)/∂x+∂(2x)/∂x+∂(2y)/∂x+∂(2z(x,y))/∂x=∂0/∂x
yを定数として計算するんですから、
∂(y^2)/∂x=0
∂(2y)/∂x=0
であり、
2x+2z(x,y)(∂z(x,y)/∂x)+2+2(∂z(x,y)/∂x)=0
ゆえに
2x+2(z(x,y)+1)(∂z(x,y)/∂x)+2=0
だから
(z(x,y)+1)(∂z(x,y)/∂x)=-x-1
を得ます。つまり
z(x,y)+1≠0の場合には∂z(x,y)/∂x=-(x+1)/(z(x,y)+1)
です。

一方、この問題ではzを陽関数として表せます。すなわち
z(x,y)^2+2z(x,y)+(x^2+y^2+2x+2y)=0
なんだから、
z(x,y)=-1±(1-(x^2+y^2+2x+2y))^(1/2)
=-1±(3-(x+1)^2-(y+1)^2)^(1/2)
である。これは
z(x,y)=-1+(3-(x+1)^2-(y+1)^2)^(1/2)
も
z(x,y)=-1-(3-(x+1)^2-(y+1)^2)^(1/2)
も元の恒等式を満たす、ということです。

すると
z(x,y)=-1+(3-(x+1)^2-(y+1)^2)^(1/2)
であるのなら、
∂z(x,y)/∂x=-(x+1)/((3-(x+1)^2-(y+1)^2)^(1/2))
=-(x+1)/(z(x,y)+1)
ですし、
z(x,y)=-1-(3-(x+1)^2-(y+1)^2)^(1/2)
であるのなら、
∂z(x,y)/∂x=(x+1)/((3-(x+1)^2-(y+1)^2)^(1/2))
=(x+1)/(-z(x,y)-1)
=-(x+1)/(z(x,y)+1)
というわけで、いずれにしても、先の結論と同じく
z(x,y)+1≠0の場合には∂z(x,y)/∂x=-(x+1)/(z(x,y)+1)
となります。

(３)はちょっと話が違うようです。
x^2+y^2+z^2＝a^2
x^2+y^2=2ax
二つの式が連立されています。第一の式は、(x,y,z)が原点0、半径aの球面上に限定されている、ということを言っていますんで、微分を考える以上はa≠0でなくては意味がありません。（a=0なら、第一の式を満たす(x,y,z)は(x,y,z)=(0,0,0)の一点だけですから。）
さて、二つの式はx^2+y^2の部分が同じですから、第二の式はa≠0として
x=-(z^2)/(2a)+a/2
と書き換えられます。つまり第二の式は(x,z)が(z軸を対称軸とする）放物線であると言っています。第二の式にyが出てこないということは、(x,y,z)は放物線をy方向に捜引した雨樋みたいな形の面上にある。
それぞれの式が示す曲面が交わるところにできる曲線が(x,y,z)の集合という訳です。

(1)(2)では、x,yが好きな値を取ってよくて、どんな(x,y)についてもzが定義されました。つまり三次元のグラフとして描けば曲面である。それでzxやzyが考えられる。けれど、(3)では三次元空間中の曲線です。(x,y)が勝手な値を取ることは許されないので、yxやzxは意味を持ちません。

それで、今度は偏微分(∂y/∂x)ではなくて、dy/dxを計算します。zを消去した上でdy/dxを計算する。これは、上記の曲線をz=一定の平面に投影した２次元曲線についてdy/dxを計算するのと同じ事です。実際にzを消去してみると
x=(x^2+y^2-a^2)/(2a)+a/2
です。

また、dz/dxを計算するとなりますと、今度はyを消去した上でdz/dxを計算する。これは、上記の曲線をy=一定の平面に投影した２次元曲線についてdz/dxを計算するのと同じ事です。実際にyを消去してみると
z^2＝a^2-2ax
ですね。

なお、答にaが出てきたって全然おかしくはない。

回答No.2

wolv

z^x=y^z の左辺の微分（偏微分）はわかりませんので、両辺のlogをとってみます。
　x log z = z log y　・・・（＊）
xで偏微分すると、
　1・log z + x・∂(log z)/∂z・∂z/∂x = log y ・∂z/∂x
これを解くと、∂z/∂x が求まります。（たぶん。）
（＊）をyで偏微分すると、
x ∂(log z)/∂z・∂z/∂y = ∂z/∂y log y + z ∂(log y)/∂y
これを解くと、∂z/∂y が求まります。（たぶん。）

logの引数は、正でないといけないので、log をとるにあたって正・負の場合わけが必要かもしれません。

回答No.1

wolv

ｘ偏微分する、とは、ｘ以外の独立変数が定数だと思って微分するようなものです。

y^2はxがないので、xで偏微分する際には定数扱いです。定数を微分すると０になります。

考える途中で 2y (∂y/∂x) としてもいいですが、x、yを独立変数として考えているときは、∂y/∂x =0なので、結局2y (∂y/∂x)も0になります。

補足

ではなぜｚｘが0にならないのですか？