陰関数の極値を求める方法について。

質問

ある問題で、

(x^2+y^2)^2 = a~2(x^2-y^2)　のとき、yをxの関数とみて極値を求めよ。x>0とする。

という問題があるのですが、陰関数f(x,y)=0のとき、yをxの関数とみて極値を求める方法として、

1). f(x,y)=0かつfx(x,y)=0を満たすx,yを求める。
2). 1)の解(x,y)=(x0,y0)について
　　fxx/fy > 0 → y=y0は極大値…

という手順を踏むのですが、なぜ1)でfx=0を求めるのでしょうか？
陰関数といっても、普通にyはxの関数としてみるのならば、dy/dx=0を求めればいいような気がするのですが…。その次は、なぜ、d^2y/dx^2を求めるのでしょうか？こっちは、普通に２階微分してるのが、よく分かりません。

かなり頭がこんがらがっている気がします。よろしくお願いします。

回答No.3

arrysthmia · ベストアンサー

しまった。

(＊)を再度 d/dx すると、
(fxx) + (fxy)(dy/dx) + {(fyx) + (fyy)(dy/dx)}(dy/dx) + (fy)(d^2 y/dx^2) = 0
でしたね。
よって、dy/dx = 0 となる点上では d^2 y/dx^2 = -(fxx)/(fy)。
dy/dx < 0 ⇔ fxx/fy > 0 でよいのでした。

失礼。

お礼

お二方。回答ありがとうございます。
おかげさまで、解決しました。

回答No.2

arrysthmia

f(x,y)=0 の両辺を d/dx して、(∂f/∂x)+(∂f/∂y)(dy/dx)=0 …(＊)。
よって、fx(x,y)=0 は dy/dx=0 となるための必要条件です。
もちろん、fx(x,y)=fy(x,y)=0 であれば dy/dx≠0 であっても
(＊)は成り立ちますから、十分条件ではありませんが。

元々、dy/dx=0 は y が極値をとるための必要条件に過ぎませんから、
ここでだけ同値性にこだわっても意味が無いのです。
必要条件で押して、極値点の候補を絞り込みましょう。
y が x の関数として微分可能な範囲に極値を持つならば、
その点上では、f(x,y)=fx(x,y)=0 が成立しなくてはなりません。
それが、手順の１）です。

(＊)を再度 d/dx して、(fxx)+2(fxy)(dy/dx)+(fyy)(d^2 y/dx^2)=0。
よって、dy/dx=0 となる点上では、d^2 y/ dx^2 = -(fxx)/(fyy) です。
手順の２）は、fxx/fyy>0 の間違いでしょう。

回答No.1

info22

> fx=0を求めるのでしょうか？
この時のxの値のところで、y=f(x)のグラフの傾斜が０になっているからです。
fx(x,y)=0,f(x,y)=0を連立させることで,yが極値となる点の候補がすべて求められます。

> y'=dy/dx=0を求めればいいような気がするのですが…
dy/dx=y'(x,y)=0からy'=0となるxは求まりません。陰関数なので一般的にはy'がxだけで表せません。
xとyの関係式だけで極値の候補点となるxが決定できなければy'を使う意味がありません。

> なぜ、d^2y/dx^2を求めるのでしょうか？
極値候補点の(x,y)座標が１）で計算できていますから、極値候補点におけるd^2y/dx^2=y"(x,y)が計算できて、グラフが上に凸か、下に凸かの判別が可能です。つまり、極大値、極小値の判別にy"(x,y)が使えるわけですから、求める意味があるのです。

実際に質問の問題に1),2)の方法を適用するとa>0として
(x,y)=(±a(√6)/4,a(√2)/4)で極大値3(√2)/(2a)
(x,y)=(±a(√6)/4,-a(√2)/4)で極小値-3(√2)/(2a)
が求まりますのでやってみて下さい。

[参考]
y'=dy/dx=-fx/fyですから、
y'=0とfx=0とは同じ意味合いを持ちます。