重積分の問題

質問

円柱｛(x,y,z)|x^2+y^2≦a^2(a>0),－∞<z<∞｝の内部にある曲面z=bTan^-1(y/x)の表面積Sを求めよ。

という問題なのですが、解答を見ると

S=∬(1+f(x)^2+f(y)^2)dxdy
という表面積を求める公式を用いていません。

この公式が使えない根拠はなんなのでしょうか？
教えていただけると嬉しいです。

回答No.3

info22_ · ベストアンサー

#2です。

A#2の補足に関連して

>zx=-by/x^2+y^2 zy=bx/x^2+y^2のため
表面積の公式を使って
S=∬[x^2+y^2<=a^2] √(1+zx^2+zy^2)dxdy
=∬[x^2+y^2<=a^2] √{1+b^2y^2/(x^2+y^2)^2+b^2x^2/(x^2+y^2)^2}dxdy
=∬[x^2+y^2<=a^2] √{1+b^2(y^2+x^2)/(x^2+y^2)^2}dxdy
=∬[x^2+y^2<=a^2] √{1+b^2/(x^2+y^2)}dxdy…(☆)

>S=∬(1+f(x)^2+f(y)^2)dxdy
>という表面積を求める公式を用いていません。

公式が間違っていませんか？
S=∬[D]{1+(fx)^2+(fy)^2}dxdy
です。zx=fx,zy=fyのことですから上の計算でバッチリ表面公式を使っています。
A#2の補足の解答の式
>S=∬(1+b^2/(x^2+y^2))^1/2dxdy
に積分領域を書き込めば（☆）の式そのものですよ。

この先の積分は表面積分を離れて、（☆）の重積分を求めるためのテクニックに過ぎません。積分の式にたまたま
>極座標x=rcosθ、y=rsinθ
の変数変換を使うと（☆）の積分の式が簡単になって
積分領域が「0<r<=a」となり、dxdy=rdrdθなので
積分自体は
S=∫[0,2π]dθ∫[0,a](1+b^2/r^2)^(1/2) rdr
=∫[0,2π]dθ∫[0,a](r^2+b^2)^(1/2) dr
=2π∫[0,a](r^2+b^2)^(1/2) dr
となって、解答の式につながるのです。

>S=2π∫[0,a](r^2+b^2)^1/2dr（0<r<a）
>＝π(a(a^2+b^2)^1/2+b^2log(a+(a^2+b^2)^1/2)/b))

お分かりですか？

なお、表面積を求めるzの曲面の3次元グラフ（青の格子）と積分領域の境界（円筒部分、水色格子）を添付しておきます。x=0や原点でzの関数は不連続ですが、zx,zyは原点を除いて連続になるので表面積分は見かけ上できます。厳密にはx=0や(x,y)=(0,0)でzが定義されないのでx→±0,(x,y)→(0,0)の極限をとると考えて積分を求めれば良いでしょう（広義積分）。

お礼

分かりやすいグラフまでわざわざどうもありがとうございました！
大変分かりやすかったです。
原点で極限を求めて不連続であることを確認致しました。
分かりやすいご説明、どうもありがとうございました。

回答No.4

alice_44

No.1 補足の「公式」は、依然として間違っていますが、
No.2 補足の計算は、正しい面積公式を使っているように見えます。
曲面の面積公式については、テキストに当たって確認しておくこと
を強く強く勧めます。そこが間違っていたのでは、話にならない。

正しい面積公式を円柱座標 (x, y, z) = (r cosθ, r sinθ, z) へ
変数変換して積分した…というのが、No.2 補足の解法です。
「この場合、公式は適用できない」どころか、
その公式が解法の根拠となっているのです。

直交座標でも、円柱座標でも、
x = 0 を境界として広義積分になることに変わりはないのですが、
直交座標だと、式に現われる y/x が x = 0 近傍で発散するのに比べ、
円柱座標では、不連続とは言っても有界な関数の積分で済みますから、
いくぶん気が楽だ…というようなことを言いたかったのだと思います。
感情的な違いに過ぎませんが。

なお、３Ｄの複雑な図形の場合、無理にグラフを書こうとすることは
余りお勧めできません。グラフが書けないから計算できないとか、
グラフを書き違えたり、書いたグラフを読み違えたから値が合わない
ということになっては、本末転倒です。

どうしてもグラフが無いと考えられないようなら、断面図で捉えて、
３Ｄではなく、２Ｄのグラフを使う癖をつけるのが安全です。

お礼

分かりやすいご説明、どうもありがとうございました。
なお、最後まで公式を書き間違えて恥ずかしい限りです；
断面積図で捉えると分かりやすそうですね、その癖を付けようと思います。

回答No.2

info22_

>解答を見ると
>S=∬(1+f(x)^2+f(y)^2)dxdy
>という表面積を求める公式を用いていません。
解答を補足に書いてくれないとなんとも回答ができません。
おそらく、曲面を表す関数zがx=0の付近で不連続になるためと考えられます。

お礼

早速のご回答、どうもありがとうございました。

補足

大変失礼いたしました。
以下、解答です。

zx=-by/x^2+y^2 zy=bx/x^2+y^2のため
S=∬(1+b^2/x^2+y^2)^1/2dxdy

極座標x=rcosθ、y=rsinθより、

S=2π∫(r^2+b^2)^1/2dr（0<r<a）
＝π(a(a^2+b^2)^1/2+b^2log(a+(a^2+b^2)^1/2)/b))

回答No.1

alice_44

質問文中の公式は、式を間違えているから、使えませんが、
本来の公式は、使えないんではなくて、
公式をそのまま使うと、計算が面倒になるから使わない…んじゃないですか？
模範解答では、円柱座標に変換してから計算しているんじゃないか
と思いますが、どうですかね。

お礼

早速のご回答、どうもありがとうございました。

補足

申し訳ありません、公式は

S=∬(1+f(x)^2+f(y)^2)^1/2dxdy
ですね；
累乗を忘れておりました。

はい、極座標x=rcosθ、y=rsinθに変換して計算しています。
このやり方は分かるのですが、一つ気になるのが、解答の初めに「この場合、公式は適用できないため」という書き出しになっているのです・・・。

計算が面倒になる以外に理由があるのではないか、と疑問に感じたので投稿させていただきました。