面積分の問題に関する計算ミスの教えてください
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- ガウスの発散定理∬∫divfdV（積分区間はV)=∬f・ndS（積分区間はS）が成り立つことを確認せよ、という問題です。
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面積分の問題
空間ベクトル場f=(x,y,z)において、原点oを中心とする半径aの球面（閉曲面）をSとし、Sで囲まれる領域をVとおく。このとき、ガウスの発散定理 ∬∫divfdV（積分区間はV)=∬f・ndS（積分区間はS）が成り立つことを確認せよ、という問題についてです。 ∬f・ndSを馬鹿正直に解いてみたのですが… 曲面Sの方程式はx^2+y^2+z^2=a^2であることから、 F=x^2+y^2+z^2-a^2=0とすると、 ▽F=(2x,2y,2z） よって曲面Sの単位法線ベクトルをnとすると、 n=1/a(x,y,z)となるので、 ∬f・ndS=∬1/a(x^2+y^2+z^2)・a/√(a^2-x^2-y^2)dxdy ここで極座標変換x=rcosθ,y=rsinθ(0≦r≦a,0≦θ≦2π)を行うと、 ヤコビアンJ=rであることから、 ∬f・ndS=a^2∬r/√(a^2-r^2)drdθ =2πa^3となって、答えの4πa^3に合いません。 自分でもどこを計算ミスしているのか分からなくて、本当に困っています。もちろん、こんな面倒な計算をしなくとも∬f・ndSが求められることは知っているのですが、このやり方でどうしても正しい答えを導きだしたいのです。私の計算にどこか間違いがあると思いますので、どこか教えて下さい。
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>∬f・ndS=∬1/a(x^2+y^2+z^2)・a/√(a^2-x^2-y^2)dxdy z≧0の積分だけになっているので上下対称ということで 2倍しないといけないですね。 正：∬f・ndS=2∬(1/a)(x^2+y^2+z^2)・a/√(a^2-x^2-y^2)dxdy =2∬(a^2)/√(a^2-x^2-y^2)dxdy 以降の積分も2倍になりますので 答えの4πa^3になります。
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お礼
なるほど、それをうっかりしていました。確かに私の立てた式では半球面の積分になっていますね。ご指摘ありがとうございます。