面積分について（大至急）

質問

∫∫S　　(6z,-4x,y)・n ｄＳ　nは曲面Ｓの法線ベクトル
S; 2x+3y+6z=12, x>=0 y>=0,z>=0の面積分を考えるという問題があります。

これについて、計算したのですが答えと合いません。
どこが間違っているか教えてください。

解
Ｓ＝(x,y,(12-2x-3y)/6)とする
すると、法線ベクトルは　(6/7)×（1/3,1/2,1）になる

それより、∫∫Ｆ・n ｄＳ＝　∫∫Ω(（-8/3)x)+4 dxdy
F=(12-2x-3y,-4x,y)より

これは∫(0<=x<=6)dx ∫((-2/3x)+4)<=y<=0) (（-8/3)x)+4) dy

= 16

答えが32 なのですが、どこが間違っていますか？
すみませんが大至急教えていただけないでしょうか？
出来れば、
投稿してから４～５時間以内で教えていただけるとありがたいです。

詳しい説明は結構ですので…　非常に気になります。

回答No.3

info22

#1です。
答えは「-16」と出ていたのですが、そのまま結果を書いても、質問者産にとって、なぜそういう答えが出てくるのか、それがどんな定積分の式から出てくるのかを、考えて理解して欲しかったので、積分の考え方の参考URLをいくつか示し、そして正しい積分結果が得られる積分の具体的な式を提示して差し上げました。

時間を制限して、結果だけ求めるのは、このサイトでの質問としてはそぐわないし、質問者さんにとって何の役にもたたないと思います。

積分の計算そのものは、#2さんがやってくれたとおりです。
積分は、正しく積分できる、積分の式が書けることがもっとも大切です。
積分そのものは、手計算が面倒なら、有料、無料の数式処理ソフトがありますので積分の式と上下限を入力すれば、簡単に計算結果を出してくれます。
それにしても
>答えが32 なのですが、
答えもいい加減ですね。どなたの計算した答えでしょうか？

注）今回のようなベクトルの面積積分は、曲面（平面を含む）の法線ベクトルの向きの取り方次第で、積分結果の±の符号が変わることを覚えておいてください。たとえば-16になったり+16になるということです。
つまり、質問者さんの出した単位法線ベクトルの方向では面積積分結果が「-16」になりますね。法線を逆向きのものを使えば「16」になりますね。

回答No.2

boobee0125

Advance25 さんの方法とinfo22 さんから示された方法の両方で面積分を計算したところ、どちらも -16 になりました。以下手順を書いておきます。

１）Advance25 さんの方法

法線ベクトル n~ = (1/7)*(2,3,6)

被積分関数
= (6z,-4x,y)・n~
= (1/7)・(6z,-4x,y)・(2,3,6)
= (1/7)・(12-2x-3y,-4x,y)・(2,3,6)
= (1/7)・{(24-4x-6y)+(-12x) + (6y)}
= (1/7)・(24-16x)
= (8/7)・(3-2x)

z軸方向の単位ベクトルを ez~=(0,0,1) とし、x-y 平面の面積素片dxdy に対応する S 上の面積素片をdS とすれば　　

dxdy/dS = (ez~,n~) = 6/7
∴ dS = dxdy*(7/6)

これより

面積分
= ∫F~・n~ dS
= (8/7)・(7/6)∫(0<=x<=6)dx ∫(0<=y<=4-2x/3) (3-2x)dy
= (4/3)・∫(0<=x<=6)dx [(3-2x)・y](0<=y<=4-2x/3)
= (4/3)・∫(0<=x<=6)dx {(3-2x)・(4-2x/3)}
= (8/9)・∫(0<=x<=6)dx {(3-2x)・(6-x)}
= (8/9)・∫(0<=x<=6)dx (18-15x+2x^2)
= (8/9)・[18・x-15/2・x^2+2/3・x^3](0<=x<=6)
= (8/9)・[18・6-15/2・6^2+2/3・6^3]
= (8/9)・(-18)
= -16

２）info22 さんから示された方法

Vx
=∫[0,2]{∫[0,4-2z] 6zdy}dz
=∫[0,2]{6zy}[0,4-2z]dz
=∫[0,2]{6z・(4-2z)}dz
=∫[0,2]{24z - 12z^2}dz
={12z^2 - 4z^3}[0,2]
={12・4 - 4・8}
=16

Vy
=∫[0,2]{∫[0,6-3*z](-4x)dx}dz
=∫[0,2]{-2x^2}[0,6-3*z]dz
=∫[0,2]{-2・(6-3*z)^2}dz
={2/9・(6-3*z)^3}[0,2]
= -2/9・6^3
= -48

Vz
=∫[0,6]{∫[0,4-2x/3] ydy}dx
=∫[0,6]{y^2/2}[0,4-2x/3]dx
=∫[0,6]{(4-2x/3)^2/2}dx
={1/2・(1/3)・(-3/2)・(4-2x/3)^3}[0,6]
={-1/4・(4-2x/3)^3}[0,6]
=1/4・4^3
=16

V = Vx + Vy + Vz = 16 -48 +16 = -16

回答No.1

info22

>∫∫Ｆ・n ｄＳ＝　∫∫Ω(（-8/3)x)+4 dxdy
この式、間違っていませんか？

>これは∫(0<=x<=6)dx ∫((-2/3x)+4)<=y<=0) (（-8/3)x)+4) dy
yの領域がy>=0であるのにもかかわらず、
yの積分範囲が負になっています。おかしくありませんか？

>答えが32 なのですが、どこが間違っていますか？
答えは合っていますか？
違っているような気がしますが確認してみてください。

V=∫[0,2]{∫[0,4-2z] 6zdy}dz+∫[0,2]{∫[0,6-3*z](-4x)dx}dz
+∫[0,6]{∫[0,4-2x/3] ydy}dx
となりませんか？

http://ufcpp.net/study/vector_analysis/surfaceint.html
http://blog.livedoor.jp/cfv21/phys/surfaceintg.htm
http://next1.msi.sk.shibaura-it.ac.jp/MULTIMEDIA/vectoranalpub/node17.html

参考URL：

http://butsuri.fc2web.com/pmath/1-07.html