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重積分の問題
xy平面上の半径1の円とf(x,y)=1で囲まれた部分の体積、つまり、(底面積:π、高さ:1の円柱の体積) ∫{1～－1}∫{√(1-y^2)～－√(1-y^2)} 1 dxdy 答え：π を解きたいのですが、上手く解けません。まず、xで積分して、 2∫{1～－1} √(1-y^2)dy まではだせたのですが、その後の解き方が分かりません。 1-y^2をtと置いて、置換積分で出来るかと思ったのですが、上手くいきませんでした。分かりましたら解き方を教えてください。ちなみに、極座標変換はしないでこの形のまま解きたいです。
- saraudon
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この定積分の値はπ/2ですから、どう式を運んでもどこかで三角関数に置換する必要があります。 f(y)=√(1-y^2) の不定積分は F(y) = (1/2)(y√(1-y^2) + φ) + C, cosφ=y となります。ここからみても、偏角φからは逃れられないことがわかります。 もしかすると、πを有理数と平方根の組み合わせで表示したいという目的かもしれませんが、それは不可能であることが証明されているそうです。 他に、どうしても角度を使うことが困る理由があれば補足してください。
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- shkwta
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y=sinφ とおくと ∫{1 to -1} √(1-y^2)dy ＝∫{(π/2)～-(π/2)} √{1-(sinφ)^2}・cosφdφ ＝∫{(π/2)～-(π/2)} (cosφ)^2 dφ ；←この範囲でcosφは正なので ＝∫{(π/2)～-(π/2)} {(cos2φ+1)/2} dφ あとは簡単。
補足
早速解答ありがとうございます。しかし、それだと途中から極座標で考えていることになりませんか？ できれば、なぜt=1－y^2と置いて解けないか教えてほしいです。
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>この定積分の値はπ/2ですから、どう式を運んでもどこかで三角関数に置換する必要があります。 確かにその通りでした。原始関数で説明してもらって初めて気がつきました… >もしかすると、πを有理数と平方根の組み合わせで表示したいという目的かもしれませんが そこまで考えていませんでした。πって不思議な数なんですね…勉強になります。 丁寧な解答本当にありがとうございました。