重積分の問題

質問

D={(x,y)|x^2+y^2<π}領域では等号を含みます。

∬(x^2)*{sin(x^2+y^2)}dxdy

なんですが、ふつに積分しようと思っても、sinの中の^2の部分が厄介だったり、極座標に変換しても最後の積分ができなかったり、（）を置換したりもしてみたんですが、うまくいきませんでした。

計算ミスとかもあるのだと思いますが、全然解けません。どなたか解法
のヒントだけでも教えていただけると助かります。

回答No.3

info22 · ベストアンサー

>なぜ対象だといえたのでしょうか？
「対称」ですよ。

#2さんもこの質問にあっけに取られてみえますよ。

関数（積分を含む）の対称性の定義は何であったか、思い出して下さい。
f(-x)=f(x)であればx=0に対してf(x)は対称である。
ということではないでしょうか？
陰関数f(x,y)の場合なら
f(-x,y)=f(x,y)ならx=0に対してf(x,y)は対称である。
f(x,-y)=f(x,y)ならy=0に対してf(x,y)は対称である。
ということです。

領域Dの定義関数および被積分関数のいずれも
xを -xで置き換えても領域も、被積分関数も同じになる。
yを -yで置き換えても領域も、被積分関数も同じになる。
なのでx軸(y=0)、y軸(x=0)の両方に対して対称ということです。
つまり、積分領域の第２象限、第３象限、第４象限の領域の積分は、
第１象限の積分と等しいということになる。
したがって、全体の積分は、第一象限の領域の積分の4倍になる
というわけ。

数学の用語の定義をおろそかにしないで、他の用語の定義も
復習しておくようにして下さい。

お礼

細かくありがとうございました。最初からやり直します。

回答No.5

noname#111804

一気に全部をやるときは変数変換後
０＜ｔ＜２πとなります。

ので、積分値は０となります。
その場合は、場合わけして計算する必要が出てきます。
ので注意が必要です。

補足

意見ありがとうございます。やはり対称を利用するのが簡単でした。なんか絶対値とかが、ついてるときにも利用できそうですね。

回答No.4

info22

#1、#3です。

>(x^2)*{sin(x^2+y^2)}の方なんですが；
xを -xと置いても関数は元の関数に等しい。
yを -yと置いても関数は元の関数に等しい。
ではないですか？
なので、この関数（陰関数）がx軸に対しても,y軸に対しても対称
です。

回答No.2

Tacosan

へ?
x^2+y^2 ≦ π ってあきらかに x軸と y軸の両方に関して対称でしょ?

補足

(x^2)*{sin(x^2+y^2)}の方なんですが；

回答No.1

info22

I=∬(x^2)*{sin(x^2+y^2)}dxdy
x=r*cos(t),y=r*sin(t)で置換積分すると
|=4∫[0,√π]{∫[0,π/2] (r^2)(cos(t))^2*sin(r^2)dt}rdr
=2{∫[0,√π](r^3)sin(r^2)dr}{∫[0,π/2] 2(cos(t))^2dt}
=2I1*I2

I1=∫[0,√π](r^3)sin(r^2)dr
=[(r^2)(-1/2)cos(r^2)][0,√π]+(1/2)∫[0,√π](2r)cos(r^2)dr
=(π/2)+∫[0,√π] r*cos(r^2)dr
=(π/2)+[(1/2)sin(r^2)][0,√π]
=π/2
I2=∫[0,π/2] 2(cos(t))^2dt=∫[0,π/2] {1+cos(2t)}dt
=[t+(1/2)sin(2t)] [0,π/2]=(π/2)

後はI1,I2を
I=2I1*I2
に代入するだけ。

お礼

早速の回答ありがとうございます。積分の仕方はわかりました。領域についてお聞きしたいのですが、
|=4∫[0,√π]{∫[0,π/2] (r^2)(cos(t))^2*sin(r^2)dt}rdr
のときに対称性から４倍しているのだと思いますが、なぜ対象だといえたのでしょうか？

すみません；