組合せの応用問題

質問

今、数学の問題集で組合せの問題をやっていますが、解説を見ても、なぜその様な式が導かれたのか分かりません。問題文と解説を載せますので何故、解説のような数式で解けるかを教えてください。

問題：ピーチ、メロン、リンゴがそれぞれ沢山用意された。これらを使って14個入りの果物の詰め合わせを作りたい。この詰め合わせは何通り出来るか。ただし、１つも入らない種類があって良いとする。

解説：(14+2)C2=120 ∴120通り

ｎCｒのｎが何故、（14+2）なのか？
ｒが何故、2なのか？
がよく分かりません。

回答No.5

noname#24129 · ベストアンサー

14個は多いので3個で説明します。

ピ３個のとき、
ピピピ

ピ２個のとき、
ピピメ
ピピリ

ピ１個のとき、
ピメメ
ピメリ
ピリリ

ピ０個のとき、
メメメ
メメリ
メリリ
リリリ

こんな場合分けが出来ると思います。このやり方で１４個ならべるとすると途方にくれます。

仕切り棒はその困難を解決してくれます。上の場合分けと同様のことを２本の仕切り棒を加えて書くと、

ピピピ││
ピピ│メ│
ピピ││リ
ピ│メメ│
ピ│メ│リ
ピ││リリ
│メメメ│
│メメ│リ
│メ│リリ
││リリリ

果物の種類に関係なく、これは、
00011
00101
00110
01001
01010
01100
10001
10010
10100
11000

と単純化できて、

５つの場所から２つの仕切り棒の場所を選ぶ組み合わせとなります。

(仕切り棒を置く場所の数)Ｃ(仕切り棒の数)

仕切り棒の数は、３種類の果物を仕切るためのものですから、２つ必要です。

(仕切り棒を置く場所の数)Ｃ(果物の種類の数－1)

場所の数は、選ぶ果物の個数に仕切り棒の数を加えたものになります。

(選ぶ果物の数＋仕切り棒の数)Ｃ(果物の種類の数－1)

果物でなくてもこのことはいえますから、

n種類のものから、重複を許してr個のものを選ぶ組み合わせは、

(r＋n-1)Ｃ(n-1)

これを【重複組み合わせ】といいます。詳しくは検索してみてください、

この問題が重複組み合わせの問題であることは自明であるから、
(14+3-1)Ｃ(3-1)=16Ｃ2=16*15/2=120
となります。

お礼

重複組み合わせの考え方を教えていただき有り難うございました。
高校時代の参考書を開いてみたら、重複組み合わせって勉強してました。
大学受験で、数学を使わなかったのでもう遠い昔にやったんですね。

回答No.6

j-mayol

こういう説明ではどうでしょうか？
１つも入らない種類があってもよいという条件で１４個選ぶ
→最低でも１つは採るものとして１７個選ぶ
と置き換えることができるのは理解できますか？
（１７個選んだ後で各種から１個ずつ取ってやればいいだけなので）
こうすると１７個を３つに切ればいいことになり、
（順序が関係ないので、３つに切ってそれぞれピーチ、メロン、リンゴとすればいい）
１７個並べると、隙間の数は１６箇所となり３つに切るには、１６箇所の隙間から２箇所を選んで切ってやればいい。よって16Ｃ2となる。

お礼

回答有り難うございました。

回答No.4

guide_man

ｎCｒのｎが何故、（14+2）なのか？

ですが、nはどんな判断をするか、を意味しています。
一番最初に3種の果物どれかを取るか決めます。
ピーチを入れることに決めたとしましょう。

すると、
ピーチを何個取り続けるか？（a個）
果物をチェンジするか、
メロンを何個取り続けるか？（b個）
果物をチェンジするか、
リンゴを何個取り続けるか？（C個）
a+b+c=14です。14回果物を取るか判断し、
チェンジ判断は2回有るので。
n=14+2=16です。

一回チェンジした種類は再び取ることは出来ない暗黙のルールがあることに注意してください。
*再び取れてしまうと、考えが複雑になります。

で、すべての組み合わせが出来るのです。

例）
01.ピーチ
02.ピーチ
03.次の果物にチェンジ
04.メロン
05.メロン
06.次の果物にチェンジ
07.リンゴ
08.リンゴ
09.リンゴ
10.リンゴ
11.リンゴ
12.リンゴ
13.リンゴ
14.リンゴ
15.リンゴ
16.リンゴ

16回の判断のうち、いつ果物をチェンジするかは2回ある。
→16個の中から、2個取る組み合わせです。

お礼

高校時代の参考書をひっくり返してみたら、同じような問題がありました。有り難うございました。

補足

んんん・・・難しいですね・・・。

回答No.3

ccyuki

16にするのは下に説明したように考えるからですよ。
それ以上でも以下でもありません。考え方を理解して下さいね。
16カ所のうち２カ所を選んでそれをくだものの境界にするってかんがえれば解けるからです。

回答No.2

ccyuki

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
の中から２つ選びます。
たとえば　4と12　だったら
1～3　の３個がピーチ　5～11の７個がメロン　13～16の４個がリンゴです。
また　1と2を選んだら　3～16の１４個がリンゴです。

つまり　16C2
これですべての組み合わせを数えられます

お礼

有り難うございました。

補足

どうして、16にするかが分からないのですが・・・。

回答No.1

Segenswind

ずいぶん不親切な解説文ですね。

とりあえず考え方としては、

　ピーチ×Ｌ個　<仕切>　メロン×Ｍ個　<仕切>　リンゴ×Ｎ個

を、「この順番で」並べることをイメージします。
このとき、Ｌ＋Ｍ＋Ｎ＝14です。
<仕切>２個の場所も考えると、14＋２＝16のモノが並ぶわけですね。

そして、<仕切>が何番目にくるか、を考えます。
例えば、ピーチもメロンも０個の場合は仕切は１番目と２番目にあると考えて、

　<仕切>　<仕切>　リンゴ×14個

となります。

要するに、<仕切>のために１～16番目のいずれかの場所を２箇所とることになり、それは互いに入れ替わっても問題ありません。
つまり……

ということで、解説文につながります。

お礼

丁寧な解説有り難うございました。
高校時代の数学の参考書にも同じような問題がありました。

補足

何故、仕切を入れて考えるのですか？