組み合わせの考え方

質問

高校数学Ａからの質問です。
順列組み合わせの単元で、組み合わせの性質が以下のように書かれています。
（１）nＣ0＝nＣn＝１
（２）nＣr＝n-1Ｃr-1＋n-1Ｃr
（３）nＣr＝nＣn-r
これらのうちで（１）と（３）の性質はよく使うのでその大切さがわかるのですが、（２）の有用性がよくわかりません。特殊な問題を解く場合にしか出てこないような気がするのですが。もっと言えば、覚える必要はあるのでしょうか？
宜しくお願いします。

回答No.3

aquaburry · ベストアンサー

具体的な意味をまず理解しまよう。
（３）の性質はよく使うとのことですが、この意味は
異なるn個からr個選ぶ組み合わと、残りのn-r個選ぶ組み合わせの数は同じだと言っています。
つまりr個選ぶことは、選ばないn-r個を選んだことと同じことだということはお分かりになると思います。

（２）ではn個からr個選ぶ組み合わせの数は、
まずn個から先に１つ選んでおくと、すでにn-1個しかないことを考慮して、その１個がｒ個に入っているか、いないかのいずれかです。
入っている場合の数は　
n-１個からr-1個選ぶことになり前半の　n-1Ｃr-1　となります。
次に１個がr個に入っていない場合は
n-1個からr個選ぶことになり　後半の　n-1Ｃrとなります。
それぞれの式はＷカウントしていないので
その和になるというものです。
順列、組合せだけ考えても、ある１個に着目して使うこともあると思いますよ。
これらの式は公式というより、意味から理解しておきたいものです。

お礼

お礼が大変遅れてすみません。
わかりやすい解説ありがとうございます。

回答No.2

koko_u_

>（２）の有用性がよくわかりません。
そう？
左辺と右辺を比べると、n が n-1 に減っているから、帰納法で頻繁に利用されそうだけど。

>もっと言えば、覚える必要はあるのでしょうか？
コンビネーションの定義と同義なので、とりあえず覚えとけ。

お礼

お礼が大変遅れてすみません。
わかりやすい解説ありがとうございます。

回答No.1

age_momo

公式はこれらだけでなく、覚えなければならないものはありません。
逆に覚えても使い慣れていないと何の役にも立ちません。
むしろ、

(n-1)Cr+(n-1)C(r-1)=(n-1)!/(r-1)!(n-r)!+(n-1)!/r!(n-r-1)!
=(n-1)!/r!(n-r)! *{r+(n-r)}=n!/r!(n-r)!=nCr

が苦も無く導けるかチェックしておきましょう。
それができるならとりあえず覚えなくてもどんな問題に対応できます。
もしこの公式を使う機会が増えることがあれば意識してなくても自然と覚えて
しまいます。公式とはそういう付き合いをしていけばいいです。

お礼

お礼が大変遅れてすみません。
わかりやすい解説ありがとうございました。