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ベッセル関数の零点
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境界条件は、膜の中心（半径をrとしてr=0）が最大振幅の点であることと、膜の周辺（r=R）において振幅が０であることです。 一般に、0次のベッセルの微分方程式は x^2・(d/dx)(dy/dx)+x・dy/dx+x^2・y=0 と表わされ、一般解は、第一種、第二種のベッセル函数、つまり、J_0(x)、Y_0(x) の線型和、A・J_0(x)+B・Y_0(x) となります。 今の問題では、r=0 のとき、Y_0(r) は －∞となるので、採用できません。 従って、解は、J_0(r) となります。 零点は、r=2.405 で、これが基本モードを与える点です。
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出された問題が拡散方程式のアナロジーで解けると勘違いしておりました。 申し訳ありません。 膜の振動では、時間に関する項は以下のように二階微分の形で現れるのでした。 {1/(c^2)}・[∂^2{u(r,θ,t)}/∂t^2] =(1/r)・(∂/∂r)[r・∂u(r,θ,t)/∂r]+{1/(r^2)}・[∂^2{u(r,θ,t)/∂θ^2]+k^2・u(r,θ,t) ただし、cは波の進む速度です。 振動が半径方向のみの場合、変位は、波数を k として (1/r)・(∂/∂r)[r・∂u(r)/∂t]+k^2・u(r)=0 で、 v=u(t)/√r とおくと d^2{v(r)}/dr^2+{1/(4・r^2)+k^2}・v(r)=0 となり rが大きい時、近似的に u(r)∝(1/√r)・exp(±ikr) 従って、u(r,t)={A/√r}・exp{±i(kr-ωt)} が得られます。 ただし、ωは振動数で、k^2=ω^2/c^2 の関係があります。 さて、円周方向の変位は、u(r,θ)=u(r,θ+2nπ) の条件の下で (1/r)・(∂/∂r)[r・∂u(r,θ)/∂r]+{1/(r^2)}・[∂^2{u(r,θ)/∂θ^2]+k^2・u(r,θ)=0 を解く事になります。 u(r,θ)=u_m(r)・cos(mθ) (m=1,2,…) とおいて、上の微分方程式に代入すると d^2{u_m(r)}/dr^2+(1/r)・{du_m(r)/dr}+{k^2-(m^2/r^2)}・u_m(r)=0 となります。 これはベッセルの微分方程式で、その解は、m=0,1,2… に従い、0次、1次、2次…の第一種のベッセル函数です。 (ここでは、u(r,θ)=u_m(r)・cos(mθ) としましたが、sin(mθ) を用いても同じ式を得ます) u(r,θ)=u_m(r)・cos(mθ) と置いたことから分かるように、2πrの円周に、m個の節があることになります。 rが小さい時は、近似的に u_m(r)∝r^(±m) が得られますが、これは m 次の第一種ベッセル函数に対応しています。
振動が発生すると、いろいろなモードが同時に発生しますが、普通、高次モードは時間の経過と共に速く減衰します。 ベッセル函数の零点は 2.4、5.5、8.7、11.8…で、これらを β_1、β_2、…、β_i、…と記せば ベッセル方程式の解は、Σ(i=1→∞)J_0(β_i・r/R) となりますが、普通は、偏微分方程式から変数分離によって導いた、もう一つの時間に関する常微分方程式の解である経時的に減衰する指数函数の項、exp(-α_i・t) （α_i は正で、α_1<α_2<…<α_i<…） が各項にかかるので、高次モードは残り難いのです。 （ここでは、円周方向で節となるモードは考えていません） 膜振動のモードの説明、モードの図が示されているホームページを見つけましたので、参考になると思い、URL を紹介します。 http://homepage3.nifty.com/JSTR/research_drum/Head_Mode1.htm
零点についての記述が不正確でした。 r=2.405 以外にも、これ以上の値の零点が無数に存在します。 しかし、それらの高調波は、主たるモードたり得ません。
補足
ご回答ありがとうございます。 r=2.405の時が基本モードということはわかりました。この時膜の振動は中心で一番振幅が大きくなっていて、他に節などがない状態だと思うのですが、それでは膜内に円形に節線があるようなモードというのはどういう場合に起きるのでしょうか。 モードを調べる時節ができるかできないかというのは波長や管径と関係ないのでしょうか。 この分野に疎いので間違ったことをお聞きしているかもしれませんが、よろしくお願いします。
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お礼
何度も回答くださりましてありがとうございます。大変参考になりました。教えて頂いたページも早速見てみました。教えて頂いた内容でなんとかわかりそうなので一度締め切りにしたいと思います。本当にありがとうございました。