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δ関数の積分教えてください
marsmaruの回答
- marsmaru
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eatern27さんの形式に沿って書きなおすと, 1/(4πa^2)∫δ(|L|-a)e^(S・L) dL =1/(4πa^2)∫δ(r-a)e^(srcosθ) r^2 sinθ drdθdφ まず,φについて積分します. 1/(4πa^2)∫δ(r-a)e^(srcosθ) r^2 sinθ drdθdφ =1/(2a^2)∫δ(r-a)e^(srcosθ) r^2 sinθ drdθ 次に,rについて積分します. 1/(2a^2)∫δ(r-a)e^(srcosθ) r^2 sinθ drdθ =1/(2a^2)∫e^(sacosθ) a^2 sinθ dθ =1/(2)∫e^(sacosθ) sinθ dθ さらに,cosθ=tとすると,積分区間が[1,-1]となるので, 1/(2)∫e^(sacosθ) sinθ dθ =1/(2)∫e^(sat) dt =1/(2sa)・(e^(sa)-e^(-sa)) ここで, (e^(sa)-e^(-sa))/2=sinh(sa) となるので,解が得られます.
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補足
本当にありがとうございますm(__)m 非常よくわかりました。(^^) ただ最後に一つだけ疑問が残るのですが、なぜ、eatern27さん形式の「1/(4πa^2)∫δ(|L|-a)e^(S・L) dLの積分は、Ｓ→をｚ軸として、Ｌ→を極座標で表せば、割と簡単に計算できます。」で、Ｓ→をｚ軸として、Ｌ→を極座標とすることができるのでしょうか？このようになぜできるのかが全くわかりません。お手数ですが、そこの説明を加えていただけると助かります。わがままいってすみませんm(__)m