【三角関数の不定積分】

質問

∫dx/(a-bsinx)の不定積分を行いたいのですが、
良い方法が見つからず、困っています...

置換の方法や計算過程について、
数学の得意な方、ご教授願います。

よろしくお願い致します。

回答No.3

spring135

定石通りやったらどうですか。

t=tan(x/2)とおく。

sinx=2t/(1+t^2)

dx=2dt/(1+t^2)

を代入して

I=∫dx/(a-bsinx)=(2/a)∫dt/[(t-a/b)^2+1-a^2/b^2]

u=t-a/bとおく。

1)a^2/c^2<1のとき　c^2=1-a^2/b^2>0とおくと

I=(2/a)∫du/[u^2+c^2]=(2/ac)arctan(u/c)

これは公式そのまま

2)a^2/c^2>1のとき　c^2=a^2/b^2-1>0とおくと

I=(2/a)∫du/[u^2-c^2]=(2/ac)log|(u-c)/(u+c)|

これは1/(u^2-c^2)=(1/2c)[1/(u-c)-1/(u+c)]を用いる。

回答No.2

info222_

No.1です。

a,bについていろいろ場合分けしないと積分できないので
例えばa=±b≠0の場合についての積分を考えると
被積分関数は sinx=±1で未定義なので積分も未定義となります。
a=b(≠0)のときは
　I=∫dx/(a-bsinx)=(1/a)∫dx/(1-sinx)=2/{a(1-tan(x/2))}+C
a=-b(≠0)のとき
　I=∫dx/(a-bsinx)=(1/a)∫dx/(1+sinx)=-2/{a(1+tan(x/2))}+C
となります。

補足

ありがとうございます。
a=±b≠0の場合は係数a,bをくくることができるのですが、
そうでない場合について悩んでいます。
何らかの上手い置換方法はありますでしょうか...

回答No.1

info222_

文字定数を使う場合は文字定数を定義してください。
そうでないと回答者に積分以前や積分計算中に場合わけを強いることになります。
場合わけしないままで積分することは不可能です。

そうでないと
a=b=0の場合やa=b≠0の場合、|a|>|b|の場合、|a|<|b|の場合など場合わけが必要になります。
a,bの正,負の条件、a≠0, b≠0, a≠bなどの条件はないですか？

補足

回答頂き、ありがとうございます。
私が今扱っているのは、
a≠0かつb>0です。

宜しければ、計算方法のアドバイスも
よろしくお願い致します。