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【複素積分】0→πについて
∫[0,π] d/(d+acosθ)dθ (d>a>0) の計算なのですが、 複素数に拡張して考えました。 z=e^izとおき、オイラーの公式をつかって z(z:1→-1)に変数変換し、留数定理を用いて計算しました。 その結果、-2πd/√(d^2-a^2)となり、解答の２倍に なってしまいました。 良く考えてみれば、私が複素平面上に 上反面の半円の経路で積分したことが まずかったのかもしれない、と思っているのですが、 円を考えると、それはそれで積分ができません。 解き方が分からず困っています... どなたか数学に詳しい方、よろしくお願い致します。
- geamantannn
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- sunflower-san
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あなたの方針で問題ありません。 >良く考えてみれば、私が複素平面上に 上反面の半円の経路で積分したことが まずかったのかもしれない、と思っているのですが、 円を考えると、それはそれで積分ができません。 z=e^iθの変数変換で [0,π] は半円に写像されるので、 z に関する半円周に沿った線積分に書き換えられます。 正則な領域内で積分路を変更しても値は変化しません。今回の問題では z に関して実軸の上にしか特異点がないので、例えば、「z = 1→ i と直進してから i → -1と進む経路にそって線積分した値」と「上半平面の半円周に沿って1から-1まで線積分した値」は等しくなります。 今回はちょっとした別解として、閉路の線積分に書き換えて留数の計算に帰着させる計算方法を紹介します。(添付画像参照)
- yyssaa
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要するに...複素積分は しない方がよい。 ということですよね？^^; ＞問題によるだろう。
- yyssaa
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対補足 ＞面倒なので、f(sint,cost)の積分を解く最後の手段のようです。
補足
要するに...複素積分は しない方がよい。 ということですよね？^^;
- yyssaa
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＞どうしても複素積分？ 例によってtan(θ/2)=tの置換と積分公式 ∫1/(t^2+a^2)dt=(1/a)tan^(-1)(t/a)+C(定数) を使えばdπ/√(d^2-a^2)が得られるが・・・
補足
回答頂きありがとうございます！ いやー...その置換積分は いくつかのページで見つけたのですが、 テクニカルすぎて私なんかには あまり思いつかないようなものだったので、 複素積分ならば思いつくもくそもない！ と思って、複素積分を試みました。 そのtanθ/2の置換は慣れですか？ そう置くもの、と暗記した方がよいでしょうか..? または、ここがこうだからtanθ/2と置換 したくなるだろうよ、というのがおありでしたら、 是非とも教えて頂きたいです。 よろしくお願い致します。
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お礼
はい、分かりました！ ありがとうございました！