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二重積分の定積分？
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参考程度に ∬exp(-sinθ/r)dθdr (-π≦θ≦0), (2≦r≦9) （1）rを定数、θを変数として積分 0≦θ≦π/2, (2/π)≦(sinθ/θ)≦1, だから、 ∫[-π→0]exp(-sinθ/r)dθ=∫[π→0]exp(-sin(-θ)/r)d(-θ) =∫[0→π]exp(sinθ/r)dθ≦2∫[0→π/2]exp(2θ/πr)dθ θ'=2θ/πr, dθ=(πr/2)dθ' =πr∫[0→1/r]exp(θ')dθ'=πr{exp(1/r)-1} >0 ∫[-π→0]exp(-sinθ/r)dθ=πr{exp(1/r)-1} ∫[2→9]{∫[-π→0]exp(-sinθ/r)dθ}dr ≦∫[2→9]πr{exp(1/r)-1}dr =∫[2→9]π{1+1/(1/2!r)+(1/3!r＾2)・・・}dr ≒π{r+(1/2)lnr-(1/6r)} =π{(9-2)+(1/2)(ln9-ln2)+1/12-1/54} =π(7+0.752+0.083)=7.835π=24.61 r*{exp(1/r)-1}=r*{(1/r)+(1/2!r＾2)+(1/3!r＾3)・・・・ =1+1/(1/2!r)+(1/3!r＾2)・・・
その他の回答 (1)
Mathematicaに計算させたところ、解析的には出ませんでした。 数値的には、25.3333になりました。
お礼
実は何種類か変数の範囲があるので、解き方を知りたかったんですが… わざわざ計算していただいてありがとうございました。
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なるほど、これならどの値にも適用できそうですね。僕はテイラー展開になる前のあたりで躓いてしまいました。 非常に参考になりました。ありがとうございました。