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中学生レベルのハズ何ですが・・・

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  • 質問No.210155
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お礼率 46% (46/99)

A ________ D
 |\     x度/|(注・正方形でも長方形でも無くただの四角形でです)
 |  \    / |(微妙な線は全部、直線のつもりです、、、)
 |   \ /   |
 |   /\〇   |
 |42 /  \ 54|
 |度/     \度|
 |/42度  30度\|
B  ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ C

中学生の時にチャレンジした問題なんですが、難問です。でも、有名な問題らしい
ので知ってる人、いると思います。是非、分かりやすい解説お願いします。

ちなみに図は有った方が分かりやすいと思っただけで、

条件が、
・ABCDは四角形である。
・ACとBDの対角線の交点をOとする。(問題的には特に意味は無いです。)
・角ABD=42度、角DBC=42度、角ACB=30度、角ACD=54度である。
の時、角ADB(=x度)の値を求めよ。
という問題です。よろしくお願いします。
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質問者が選んだベストアンサー

  • 回答No.11
レベル4

ベストアンサー率 100% (1/1)

次の四つの点を求める
OからBCへの垂線の交点E
OからABへの垂線の交点F
ODの中点G
FGとOAの交点H

1)三角形BEO三角形BFOは合同
2)三角形OECは正三角形の半分
よってOE=OF=OG=GD,角OFG=角OGF=24度
直角三角形AFOから角HOF=角HFO=24度そして角HAF=角HFA=66度
二等辺三角形HOFと二等辺三角形HFAからOH=HA
従ってOG=GDよりHGはADの平行線である,すなわち角OGH=角ODA=24度となる
お礼コメント
nyonta

お礼率 46% (46/99)

素晴らしいです!!!!
これぞ、僕が求めてた回答です!!!!!
本当にありがとうございます!!!!!
こんな補助線の引き方僕には絶対思いつきません!!!!!
ありがとうございました!!!!!
投稿日時 - 2002-02-16 19:09:18
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  • 回答No.4
レベル9

ベストアンサー率 40% (25/62)

既に出ている回答と異なりますし、又、3角関数の真数を使う点が気になりますが、つぎのように考えました。計算に間違いがあるかも知れず、あわせてご検討ください。 OからAB,BCの2辺に立てた垂線の足を、F, Eとします。∠ABO=∠CBOですから、OE=OFです。また、既に出ている回答の通り、CO=DOです。 ΔCEOにおいて、CO=nとして、OE=CO・sin ∠FOC=CO・sin 30=n/2 ...続きを読む
既に出ている回答と異なりますし、又、3角関数の真数を使う点が気になりますが、つぎのように考えました。計算に間違いがあるかも知れず、あわせてご検討ください。

OからAB,BCの2辺に立てた垂線の足を、F, Eとします。∠ABO=∠CBOですから、OE=OFです。また、既に出ている回答の通り、CO=DOです。
ΔCEOにおいて、CO=nとして、OE=CO・sin ∠FOC=CO・sin 30=n/2
ΔAFOにおいて、AO=m として、m=AO=OF/sin 66=n/(2 sin 66)
ΔADOにおいて、∠AOD=108です。ここで∠ADO=x,∠DAO=yとすれば、
m・sin y=AO sin y=DO sin x=n・sin x、 (1)
かつ、y=180-(108+x) ですから、
sin y=sin (180-(108+x))=sin (72-x)=sin 72・cos x-cos 72・sin xで、すなわち、
m・sin y= m(sin 72・cos x-cos 72・sin x)= (sin 72・cos x-cos 72・sin x) n/(2 sin 66)   (2)
(1)、(2) より、
sin x= (sin 72・cos x-cos 72・sin x) /(2 sin 66)
sin x(2 sin 66+cos 72)=sin 72・cos x
tan x=sin 72/(2 sin 66+cos 72)
これを計算すれば、tan x=0.445
よって x=24度
お礼コメント
nyonta

お礼率 46% (46/99)

はい。回答ありがとうございます。
実際に作図(分度器使って。)してみた所、約25度ぐらいになるようです。
ですから、36度では無いだろうな・・・とは思っていたんですが・・・

途中計算はまだ大まかにしか見ていませんが、なるほど、三角関数ですか、
(こんな問題が何で中学の時に出てきたんだろう・・謎)
それで、最終的にtanxの式に持っていくんですね。。
でもこの場合ですと、あくまで「x=約24度」ですよね。
中学の時に出た問題であるからには、多分整数になるんだと思うのですが・・・
どうでしょう。三角関数使わずに解く事は出来ないのでしょうか?

でも、本当に有り難う御座います。それらしい回答を頂いてとっても心強いです★
もう少し、よろしくお願いします。(もちろん、他のみなさんもよろしくお願いします。)
投稿日時 - 2002-02-02 21:40:03

  • 回答No.5
レベル13

ベストアンサー率 26% (324/1203)

多分、∠B=∠Cを使って、補助線を引いて・・・とやるんだと思います。 あと、∠ABO=∠OBCなので、そこら辺も「辺の比」という形で使うかもしれません。 中学受験でも出てきたような気が・・・。
多分、∠B=∠Cを使って、補助線を引いて・・・とやるんだと思います。
あと、∠ABO=∠OBCなので、そこら辺も「辺の比」という形で使うかもしれません。

中学受験でも出てきたような気が・・・。
  • 回答No.3
レベル14

ベストアンサー率 31% (726/2280)

簡単に考えましょう。 まず、三角形ACDの辺CDに平行な線をOからADに向かって引いてください。 ADとの交点をEとすると、∠AODは108°ですので∠AODは∠ACDと同じく54°です。 よって∠DOEも54°になり∠OAD=∠ODAとなります。 よってXは36°になります。 ...続きを読む
簡単に考えましょう。
まず、三角形ACDの辺CDに平行な線をOからADに向かって引いてください。
ADとの交点をEとすると、∠AODは108°ですので∠AODは∠ACDと同じく54°です。
よって∠DOEも54°になり∠OAD=∠ODAとなります。
よってXは36°になります。
補足コメント
nyonta

お礼率 46% (46/99)

回答はありがとう御座います。
ただ、ごめんなさい。
「∠AODは108°ですので∠AODは∠ACDと同じく54°です。
 よって∠DOEも54°になり∠OAD=∠ODAとなります。
 よってXは36°になります。」
の意味が分かりません。
解説お願いできますか?
というより間違ってませんか?
本当に、せっかく回答していただいたのに文句は言いたくないのですが、
「自信あり」でこう立て続けに間違えられると・・・どうも、、、
投稿日時 - 2002-02-02 14:08:59
  • 回答No.2
レベル7

ベストアンサー率 0% (0/6)

どこから答えていいのかですが。。。 まず 角BOC=108度 で、対頂角なので、角AOD=108度 だから、角DAO+角ADO=72度 角DOC=72度よって角COD=54度 以上のことより 三角形CODは二等辺三角形 よって、辺DO=辺CO・・・(1) 三角形ABCの頂点Bから辺ACに 下ろした線は角ABCを2等分するので 辺ACの中点を通る。 よって、辺AO=辺 ...続きを読む
どこから答えていいのかですが。。。

まず

角BOC=108度
で、対頂角なので、角AOD=108度
だから、角DAO+角ADO=72度

角DOC=72度よって角COD=54度
以上のことより
三角形CODは二等辺三角形
よって、辺DO=辺CO・・・(1)

三角形ABCの頂点Bから辺ACに
下ろした線は角ABCを2等分するので
辺ACの中点を通る。
よって、辺AO=辺CO・・・(2)

(1)(2)より辺DO=辺AO
よって、三角形AODは二等辺三角形である。
72度÷2=36度

こんな感じでどうでしょうか???
補足コメント
nyonta

お礼率 46% (46/99)

回答は嬉しいのですが・・・
あの、(2)が違うと思います。
そんな簡単な問題では無いですよ。。。
いや・・文句では無いんですが、こう立て続けに間違えられると・・・
投稿日時 - 2002-02-02 14:05:19
  • 回答No.1
レベル12

ベストアンサー率 38% (256/672)

△BOCに注目する。 三角形の内角和から∠BOC=108゜ よって∠AOD=108゜となる。 ここで△ACDに注目し、△ACDの外接円を考える。 ∠AOD:∠ACD=108゜:54゜=2:1だから、円周角の定理より点Oは外接円の中心であることが分かる。 したがって、OA=OD(=外接円の半径)であるので、△AODは二等辺三角形である。 つまり∠OAD=∠ODA。 ∠AOD=108゜だから ...続きを読む
△BOCに注目する。
三角形の内角和から∠BOC=108゜
よって∠AOD=108゜となる。

ここで△ACDに注目し、△ACDの外接円を考える。
∠AOD:∠ACD=108゜:54゜=2:1だから、円周角の定理より点Oは外接円の中心であることが分かる。
したがって、OA=OD(=外接円の半径)であるので、△AODは二等辺三角形である。
つまり∠OAD=∠ODA。
∠AOD=108゜だから、三角形の内角和から∠OAD=∠ODA=36゜

よって、∠ADB=∠ODA=36゜
お礼コメント
nyonta

お礼率 46% (46/99)

早速、回答有り難う御座います。
しかし、
「∠AOD:∠ACD=108゜:54゜=2:1だから、円周角の定理より点Oは外接円の中心であることが分かる。」
これは違いますよね?
投稿日時 - 2002-02-02 04:11:43
  • 回答No.6
レベル8

ベストアンサー率 41% (13/31)

この問題は、整角四角形(ラングレー)の問題です。 与えられた角度のよって解法が違うようです。 内心を使って考えていますが、難しそうですね.. ...続きを読む
この問題は、整角四角形(ラングレー)の問題です。
与えられた角度のよって解法が違うようです。
内心を使って考えていますが、難しそうですね..
お礼コメント
nyonta

お礼率 46% (46/99)

ありがとうございます★
ラングレーの問題と言うのですか。
数学用語が増えました♪ありがとうございます。
投稿日時 - 2002-02-06 20:18:14
  • 回答No.7
レベル13

ベストアンサー率 26% (324/1203)

考えてみました。自信なしもかなり自信なしの回答です。 辺BC上にAE//CDとなるような点Eを取ります。 このとき、AEとBDとの交点をPとおきます。 また、四角形ECDFが平行四辺形となるような点Fを、辺EAの延長上に取ります。 AE//CDより、 ∠AEB=∠C=84°=∠B なので、△ABEはAB=AEの二等辺三角形になり、∠BAE=12°となります。 次に、AE//CDよ ...続きを読む
考えてみました。自信なしもかなり自信なしの回答です。

辺BC上にAE//CDとなるような点Eを取ります。
このとき、AEとBDとの交点をPとおきます。
また、四角形ECDFが平行四辺形となるような点Fを、辺EAの延長上に取ります。

AE//CDより、
∠AEB=∠C=84°=∠B
なので、△ABEはAB=AEの二等辺三角形になり、∠BAE=12°となります。

次に、AE//CDより、
∠ACE=∠ADE=30°(この辺自信なし)

点Fから辺BCに対する垂線を引くと点Bに達する(たまたま発見)ので、
∠DFE=84°より、∠AFB=6°

したがって、BC//FDより、∠BFE=∠BDE=6°(自信なし)

これより、
∠PDA=∠ADE-∠EDP=24°

答え 24°(かなり自信なし)


いかがでしょう?平行移動は角度が同じ、というのはかなりこじつけだと自分でも思ってます。果たしてそんな法則があったのか、確かに面積は同じ(等積変形)だけど・・・という感じです。
間違ってたらご指摘ください・・・>_<
  • 回答No.12
レベル14

ベストアンサー率 37% (1123/2963)

b_blackさんの回答について、補強を兼ねて検証を。 >次の四つの点を求める >OからBCへの垂線の交点E >OからABへの垂線の交点F >ODの中点G >FGとOAの交点H >1)三角形BEO三角形BFOは合同 これは OB=OB(共通) ∠OEB=∠OFB=90° ∠OBE=∠OBF=42° 直角三角形で、斜辺と1つの角が ...続きを読む
b_blackさんの回答について、補強を兼ねて検証を。

>次の四つの点を求める
>OからBCへの垂線の交点E
>OからABへの垂線の交点F
>ODの中点G
>FGとOAの交点H

>1)三角形BEO三角形BFOは合同
これは
OB=OB(共通)
∠OEB=∠OFB=90°
∠OBE=∠OBF=42°
直角三角形で、斜辺と1つの角がそれぞれ等しいことから言えます。
>2)三角形OECは正三角形の半分
∠OCE=30°より、∠COE=60°なので、これもOK。
>よってOE=OF=OG=GD,角OFG=角OGF=24度
1)からOE=OF
∠OCD=∠ODC=54°より、OD=OC(△OCDは二等辺三角形)
これと2)より、OE=1/2・OC=1/2・OD=OG=GD
よって、OE=OF=OG=GD
一方、∠FAO=66°なので、∠AOF=180-(66+90)=24°
∠AOG=108°より、∠FOG=∠AOF+∠AOG=108+24=132°
△OFGは二等辺三角形だから、∠OFG=∠OGF=(180-132)/2=24°
で言えました。

>直角三角形AFOから角HOF=角HFO=24度そして角HAF=角HFA=66度
∠HOFと∠HFOは上記で示したとおり。
∠HFA=∠AFO-∠HFO=90-24=66°
よって、△HOFはHF=HO,△HFAはHF=HAの二等辺三角形
>二等辺三角形HOFと二等辺三角形HFAからOH=HA
これもOK。
>従ってOG=GDよりHGはADの平行線である,すなわち角OGH=角ODA=24度となる
これは、GはODの中点、HはOAの中点であることから中点連結定理ですね。

いやー、おみごと!!
脱帽です。
お礼コメント
nyonta

お礼率 46% (46/99)

ご丁寧に分かりやすい説明ありがとうございます!!!!
本当に脱帽ですよね。
投稿日時 - 2002-02-16 19:11:36
  • 回答No.10
レベル13

ベストアンサー率 26% (324/1203)

No.7のmay-may-jpです。 そうですか、やっぱりダメですか・・・>_< どなたか、解法を・・・。気になって夜も眠れません(ウソ)。 私の母(元数学教師)が「方べきの定理」を使えばナントカ、と申しておりました。 ...続きを読む
No.7のmay-may-jpです。
そうですか、やっぱりダメですか・・・>_<
どなたか、解法を・・・。気になって夜も眠れません(ウソ)。

私の母(元数学教師)が「方べきの定理」を使えばナントカ、と申しておりました。
  • 回答No.9
レベル9

ベストアンサー率 40% (25/62)

おはようございます。No.4 の yacob です。 図形上には ∠AOF のように24度の角が、現れていますが、これを含む三角形が、∠ADO を含む三角形と相似であることを幾何学的に証明できればと思いますものの、他の方々と同じ様に、うまく行かなくて困っています。 前回の回答では、途中に計算を挟みましたために、「X=約24度」とご指摘を頂きましたが、その後、下記のように、正確に24度である説明 ...続きを読む
おはようございます。No.4 の yacob です。

図形上には ∠AOF のように24度の角が、現れていますが、これを含む三角形が、∠ADO を含む三角形と相似であることを幾何学的に証明できればと思いますものの、他の方々と同じ様に、うまく行かなくて困っています。

前回の回答では、途中に計算を挟みましたために、「X=約24度」とご指摘を頂きましたが、その後、下記のように、正確に24度である説明が出来ましたのでご報告します。

回答の終わりから5行目
sin x= (sin 72・cos x-cos 72・sin x) /(2 sin 66)
の式からの続きです。

この式を整理して、
(2sin 66 + cos 72)sin x = sin 72・cos x
tan x = sin x/cos x = sin 72/(2sin 66 + cos 72)

3倍角の公式などを使って、 この式の内
sin 72 = sin (3・24) = 3sin 24 - 4sin^3(24)
sin 66 = cos 24
cos 72 = cos (3・24) = 4cos^3(24) - 3cos 24

以下、sin 24 = a , cos 24 = b と書きます。上の式をこれで書くと、

 tan x = sin x/cos x = (3a - 4a^3)/(2b + 4b^3 - 3b)
= (3 - 4a^2)a/(4b^2 - 1)b

ここで、a^2 + b^2 = 1 から, b^2 に 1-a^2 を代入して,

= (3 - 4a^2)a/(4(1 - a^2) - 1)b
= (3 - 4a^2)a/(3 - 4a^2)b
= a/b

すなわち、
    = sin 24/cos 24
よって、
x = 24度 
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