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どうかHamilton-Cayleyの定理を
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xにAを代入しちゃうなんて、とってもはしょった証明ですね。びっくりました。 さて、|x・E-A|はxのn次多項式 x^n+a_[n-1]・x^(n-1)+…+a_[0];a_[k]は係数。 と書けます。 ここで|x・E-A|・E=(x・E-A)・B(x)の左辺に上式を、 右辺にB(x)=…の式を代入し、両辺のx^kの係数を比較します。 出来上がったn+1個の式について、x^nの係数を比較した式の両辺にA^nをかけ、 x^(n-1)の係数を比較した式の両辺にA^(n-1)をかけ… そして全部足す(これをはしょると「代入」にみえるんですね。)とケーリー・ハミルトン の定理が得られます。 方針だけ示しましたが、計算してみてください。 (あれ?「ハミルトン・ケーリーの定理」と「ケーリー・ハミルトンの定理」、どっちが正しいんでしょう?)
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- nikorin
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問題の背景やご自分でどこまで考えたかをお示しにならないと なかなか回答してくれる方はおられないんではないでしょうか。 多分以前にお書きになっておられたと思いますが、証明が怪しい と思われる教科書があったとか。 例えばその部分を書き出してなぜ怪しいと思われるのかを書いて みたらどうでしょう?
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お礼
Hamilton-Cayleyの定理: xを複素数の変数としAをn次正方行列としEをn次単位行列としf(x)≡|x・E-A|とすればf(A)=0である Hamilton-Cayleyの定理の証明: x・E-Aの余因子行列をB(x)としB[0],B[1],B[2],B[3],・・・,B[n-1]をそれぞれ適当なn次正方行列として B(x)=x^(n-1)・B[0]+x^(n-2)・B[1]+・・・+x^0・B[n-1] |x・E-A|・E=(x・E-A)・B(x)=B(x)・(x・E-A) よってB[0],B[1],B[2],B[3],・・・,B[n-1]はAと交換可能である xにAを代入すればf(A)=(A-A)・((A^(n-1)・B[0]+・・・+A^0・B[n-1])=0 が定理の証明です xにAを代入することができるのが不思議なのですが よろしくお願いします
補足
大変よく分かりました 解決です どうもありがとうございました 「ハミルトン・ケーリーの定理」と「ケーリー・ハミルトンの定理」、どっちが正しいんでしょう? 私の本では3冊とも「Hamilton-Cayley」です 多分語呂がいいから「ケーリー・ハミルトンの定理」とも言うのかもしれません しかし貢献度がハミルトンのほうが高いから「Hamilton-Cayleyの定理」と言うのではないですか? 私も真偽を知りたいので質問してみます