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均衡の性質について

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お礼率 55% (5/9)

4つの線形の微分方程式からなるシステムがあります。
dx_i/dt = f(x_1, x_2, x_3, x4), i={1,...,4}

ベクトル表示でy=A*xとします(yはdx_i/dtからなる4X1のベクトル、Aは4X4の行列、xはx_iからなる4X1のベクトルです)。

このシステムの均衡点(dx_i/dt = 0)の性質を知るためには、行列Aのeigenvalueを見ればいいはずですが、Aが2X2より大きい場合の判断の仕方が分かりません。

例えば、Aが2X2の場合はeigenvalue(r1, r2)によって、r1>r2>0 =>unstable, r1<r2<0 =>asymptotically stableなどと分けられるようです。

4X4のAで、eigenvalueが{a, -b, c, -d}(いずれも正の実数)の均衡点の性質はどのようなのでしょうか?

さらに、 4X4のAで、eigenvalueが{a, -b+ki, -c-ji, -d}(いずれも正の実数, iは虚数)の均衡点の性質はどのようなのでしょうか?

ぜひよろしくお願いします。
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質問者が選んだベストアンサー

  • 回答No.4
レベル10

ベストアンサー率 18% (28/153)

内容からてっきり理科系の方だと思っていたので失礼しました

漸近安定なのは(2)の場合だけです
すなわち
Aの固有値の実部がすべて負であればシステムは漸近安定であり
逆に漸近安定なシステムはAの固有値の実部がすべて負です

従って
「Aの固有値の集合が{0.1, -0.2, 0.3,-0.4}」の場合は
0.1と0.3の存在によって適当な初期条件によって解のノルムが時間とともに限りなく増大します(不安定)
「Aの固有値の集合が{0.1, -0.2+0.1i, -0.3-0.1i, -0.4}」の場合は
0.1の存在によって適当な初期条件によって解のノルムが時間とともに限りなく増大します(不安定)

固有値に虚部が有るかどうかは漸近安定の条件には全く関係ないです
ただ0に収束するさいの振る舞いは変わってきますが
不安定の場合には暴れ方が違ってきます
固有値の実部が0のものがある場合は初期条件を適当に選べば∞になるか振動するかします
システムを構成する場合にはAの固有値の実部をすべて負にしないといけないのです
これは行列の次数がいくらであっても同じです
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その他の回答 (全4件)

  • 回答No.1
レベル10

ベストアンサー率 18% (28/153)

Aを正則行列によってジョルダンの標準形化すれば答えは明白でしょう Aの固有値の実部が正のものがあれば原点で不安定になるのは明らかでしょう 質問の場合だと両方とも解がexp(a・t)の因子を含む項があるのだから 不安定でしょう 何で悩むか理解に苦しむのですが 私が質問の意図が分かってないだけかもしれません
Aを正則行列によってジョルダンの標準形化すれば答えは明白でしょう
Aの固有値の実部が正のものがあれば原点で不安定になるのは明らかでしょう
質問の場合だと両方とも解がexp(a・t)の因子を含む項があるのだから
不安定でしょう
何で悩むか理解に苦しむのですが
私が質問の意図が分かってないだけかもしれません


  • 回答No.2
レベル10

ベストアンサー率 18% (28/153)

Aの固有値をλ[1],λ[2],λ[3],・・・・とすればdx/dt=A・xの解ベクトルxは ベクトルの各成分がt^n・exp(r[m]・t) (m,nは整数)の形の式の一次結合ではないですか? 従ってλ[1],λ[2],λ[3],・・・・の中に実部が正のものが有れば適当な初期条件で∥x∥→∞になるのではないですか? だからλ[1],λ[2],λ[3],・・・・の中に実部が正のものが有れば質問 ...続きを読む
Aの固有値をλ[1],λ[2],λ[3],・・・・とすればdx/dt=A・xの解ベクトルxは
ベクトルの各成分がt^n・exp(r[m]・t) (m,nは整数)の形の式の一次結合ではないですか?
従ってλ[1],λ[2],λ[3],・・・・の中に実部が正のものが有れば適当な初期条件で∥x∥→∞になるのではないですか?
だからλ[1],λ[2],λ[3],・・・・の中に実部が正のものが有れば質問のシステムは不安定ではないでしょうか?
質問の意図は何でしょうか?
  • 回答No.3
レベル10

ベストアンサー率 18% (28/153)

tを0以上の実数の変数してNを自然数としてAをN次正方複素行列としΛをAのすべての固有値の集合としx[1](t),x[2](t),x[3](t),・・・,x[N](t)をそれぞれ複素数値関数としx(t)=[x[1](t),x[2](t),x[3](t),・・・,x[N](t)]^Tとしd(x(t))/dt=A・x(t)としたとき (1) Λの元に実部が正のものが有れば適当なx(0)に対して ...続きを読む
tを0以上の実数の変数してNを自然数としてAをN次正方複素行列としΛをAのすべての固有値の集合としx[1](t),x[2](t),x[3](t),・・・,x[N](t)をそれぞれ複素数値関数としx(t)=[x[1](t),x[2](t),x[3](t),・・・,x[N](t)]^Tとしd(x(t))/dt=A・x(t)としたとき

(1)
Λの元に実部が正のものが有れば適当なx(0)に対して
t→∞ならば∥x(t)∥→∞である

(2)
Λの任意の元の実部が負であれば
t→∞ならば∥x(t)∥→0である

(3)
Λの任意の元の実部が0以下でありΛの元に実部が0のものが有れば適当なx(0)に対して
tを限りなく大きくしたとき∥x(t)∥が0に収束しない

(3-1)
Λの任意の元の実部が0以下でありΛの元に実部が0のものが有り
Aをジョルダンの標準形に相似変換したとき2次以上のジョルダン細胞の対角成分になるΛの元の実部が少なくとも1つ0のものがあれば適当なx(0)に対して
t→∞ならば∥x(t)∥→∞である

(3-2)
Λの任意の元の実部が0以下でありΛの元に実部が0のものが有り
Aをジョルダンの標準形に相似変換したとき2次以上のジョルダン細胞の対角成分になるΛの元の実部がすべて負であれば
正の実数Maxが存在して∥x(t)∥<Maxである
補足コメント
Emerald

お礼率 55% (5/9)

nuubou様、返事遅れてどうもすみません。大変詳しいご回答どうもありがとうございます。あまりにも高度で私には完全に理解できないのが悲しいのですが。。。さて、ご回答によると行列Aの固有値が例えば{0.1, -0.2, 0.3,-0.4}の場合は、(1)により、不安定(無限大になる)ですか?もう一つの場合、例えば{0.1, -0.2+0.1i, -0.3-0.1i, -0.4}の場合も同じでしょうか((1)により不安定)? 片方の均衡には複素数があり、もう片方にはないので性質は違うはずではないですか?

私は経済学の院生で動学ゲーム理論というモデルを使って環境問題を分析しているのですが、数学の知識が弱いので、もし質問の仕方が不明確、意図不明だとしたらごめんなさい。ぜひよろしくお願いします。
投稿日時 - 2002-01-28 07:02:35
  • 回答No.5
レベル10

ベストアンサー率 18% (28/153)

Aを実行列としx(t)を実ベクトルとする αを正の実数としβを実数とし-α+i・βをAの固有値とすると x(t)の成分はe^(-α)cos(β・t)の項とe^(-α)sin(β・t)の項を含んでいる可能性がある 固有値の虚部のふるまいはこの式から明らかでしょう βは振動の角周波数になるのです αは大きければ大きい程この項は急速に減衰することも分かるでしょう 従ってΛのなかの最もαが小さい固 ...続きを読む
Aを実行列としx(t)を実ベクトルとする
αを正の実数としβを実数とし-α+i・βをAの固有値とすると
x(t)の成分はe^(-α)cos(β・t)の項とe^(-α)sin(β・t)の項を含んでいる可能性がある

固有値の虚部のふるまいはこの式から明らかでしょう
βは振動の角周波数になるのです
αは大きければ大きい程この項は急速に減衰することも分かるでしょう
従ってΛのなかの最もαが小さい固有値がシステムの安定度の指標になるのです
お礼コメント
Emerald

お礼率 55% (5/9)

よーく分かりました。懇切丁寧にどうもありがとうございました。とてもとても役に立ちました!
投稿日時 - 2002-01-29 09:13:52
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