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1未満と1以下の違い

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お礼率 64% (681/1059)

言葉の定義で言うと1未満とは1を含まない1より小さい数であり、1以下とは1を含む1より小さい数であると理解しています。
しかし、1未満を1以外の1より小さい値を全て含むと考えると0.999....がその最大値となります。その値を3で割れば0.333....となり、これは1/3です。
再び3をかければ1になるので1未満と1以下の最大値は同値になるため1未満=1以下が言えるのではないでしょうか。
これを是とすればx<=1とx<1は同意であると考られると思うのですが、皆さんはどう思われますか。数学上の定説があればそれもご教授いただければ幸いです。
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質問者が選んだベストアンサー

  • 回答No.10
レベル11

ベストアンサー率 38% (130/334)

1未満の実数には最大値は存在しません。

a<bなる2つの実数があるとき、a<x<bなる
実数xが無限に存在します。 (a+b)/2 が実数である
ことから明らかでしょう。この事実を実数の稠密性と
いいますが、これから1未満の実数に最大値が存在
できないことは明らかと思います。

つまり、 0.999… = 1 ということです。
ですから未満と以下は同じ意味ではありません。
お礼コメント
100Gold

お礼率 64% (681/1059)

ご回答ありがとうございます。
この最大値が存在しないってところがポイントだとは思うんですけどね。
量で考えると1リットルと1リットルにもっとも近い最後の1という値を含まない量って同じになっちゃうような気がするんですよ。
x=1の部分の量は無限に小さい0.0000...1リットルのはずで、これは0じゃないかってね。
無限というのは本当に厄介ですね。
投稿日時 - 2002-01-14 15:31:22
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その他の回答 (全13件)

  • 回答No.4
レベル10

ベストアンサー率 24% (26/108)

よく聞きますよね、その話。 中学の頃数学の先生も同じことを言っていました。 近似値か何かの時に出てきたかなぁ。 でもごめんなさい、結論は0.333333...×3=1だとだけ覚えていて、あと忘れてしまいました。 奥が深い話ですよね。ごめんなさい。後の方に回答はお願いします。
よく聞きますよね、その話。
中学の頃数学の先生も同じことを言っていました。
近似値か何かの時に出てきたかなぁ。
でもごめんなさい、結論は0.333333...×3=1だとだけ覚えていて、あと忘れてしまいました。
奥が深い話ですよね。ごめんなさい。後の方に回答はお願いします。

  • 回答No.5
レベル10

ベストアンサー率 22% (28/127)

1 ÷ 3 × 3 =1(以下) 0.99~ ÷ 3 × 3 =0.99~(未満) のように、未満はあくまで未満であって、1にはならないと思います。 でも、大抵の普通の電卓で 1÷3×3 をやると 0.999~になり 微妙な差がでてきます。 数値に表れない数学とでも言うのでしょうか?(^^;
1 ÷ 3 × 3 =1(以下)

0.99~ ÷ 3 × 3 =0.99~(未満)

のように、未満はあくまで未満であって、1にはならないと思います。

でも、大抵の普通の電卓で 1÷3×3 をやると 0.999~になり
微妙な差がでてきます。

数値に表れない数学とでも言うのでしょうか?(^^;
  • 回答No.3
レベル10

ベストアンサー率 50% (65/129)

> 0.333....となり、これは1/3です。 これが間違ってます。「limit」の考え方を学ぶとわかると思うのですが・・・。 すでに回答が寄せられているので、具体的に考えると以下のようになります。 「1未満」の最大値は、「1-x」です。 * x は0ではないけど、限りなく0に近い値です。 これを 3 でわると、次のようになります。 「1/3-x/3」 x は ...続きを読む
> 0.333....となり、これは1/3です。

これが間違ってます。「limit」の考え方を学ぶとわかると思うのですが・・・。
すでに回答が寄せられているので、具体的に考えると以下のようになります。


「1未満」の最大値は、「1-x」です。
* x は0ではないけど、限りなく0に近い値です。

これを 3 でわると、次のようになります。
「1/3-x/3」

x は 0 ではないので「1/3-x/3」はどうやっても 1/3より小さい値になります。

これに再び 3 をかけると、次のようになります。
「1-x」

もとにもどりましたね。これは 1 ではありません。
  • 回答No.2
レベル9

ベストアンサー率 50% (17/34)

100Goldさんの書かれたことに論理矛盾があります。 「1未満」の最大値0.9999…を3で割った0.3333…は3をかけても1にならない数字なのです(「1になる」とおっしゃいますが、それは、100Goldさんが小数点以下の最小位を無意識に四捨五入してしまったからでしょう)。ですから、1未満と1以下は違います。
100Goldさんの書かれたことに論理矛盾があります。

「1未満」の最大値0.9999…を3で割った0.3333…は3をかけても1にならない数字なのです(「1になる」とおっしゃいますが、それは、100Goldさんが小数点以下の最小位を無意識に四捨五入してしまったからでしょう)。ですから、1未満と1以下は違います。
  • 回答No.1
レベル9

ベストアンサー率 26% (29/110)

私は文系の人間なんですが、面白い質問なので考えてみました。 1とは自然数ですが、1/3というのは分数で自然数ではありません。 ここで言う分数とは言わば記号のようなものであり、その実態はあくまで0.999…なのです。それを3で割ってそれに3をかけてもあくまで0.999…です。 分数は0.333…という状態を便宜的に表すために(言葉の表現が正しくないかも知れませんが)1/3という記号を使用している、 ...続きを読む
私は文系の人間なんですが、面白い質問なので考えてみました。
1とは自然数ですが、1/3というのは分数で自然数ではありません。

ここで言う分数とは言わば記号のようなものであり、その実態はあくまで0.999…なのです。それを3で割ってそれに3をかけてもあくまで0.999…です。
分数は0.333…という状態を便宜的に表すために(言葉の表現が正しくないかも知れませんが)1/3という記号を使用している、と考えればよいのではないでしょうか。

分数と自然数を混同するとこのような(いい意味で)面白い錯覚に陥るのではないでしょうか。
  • 回答No.6
レベル10

ベストアンサー率 42% (53/126)

この論法だと、0.999... が 1 と等しいつまり 0.999... = 1 で 0.999.... = 1 が成り立てば1より小さな数は 0.999.... ではないこと になり、1未満 = 1以下は成り立たないですよね。 0.999... = 1 が成り立つかどうかは過去の質問にあります。 ...続きを読む
この論法だと、0.999... が 1 と等しいつまり

0.999... = 1

で 0.999.... = 1 が成り立てば1より小さな数は 0.999.... ではないこと
になり、1未満 = 1以下は成り立たないですよね。
0.999... = 1 が成り立つかどうかは過去の質問にあります。
お礼コメント
100Gold

お礼率 64% (681/1059)

なるほど、同じような内容の質問が結構あるものですね。参考になりました。ありがとうございます。
投稿日時 - 2002-01-14 02:29:19
  • 回答No.7
レベル9

ベストアンサー率 11% (18/153)

考え方としてわからなくもありませんが、 1 ÷ 3 = 0.333333......であって、 1 / 3 = 0.333333......とは思っていません。 表示しきれないものを表示するために切ってしまっているだけで、 0.333333...... × 3 = 0.999999...... になると思ってます。
考え方としてわからなくもありませんが、
1 ÷ 3 = 0.333333......であって、
1 / 3 = 0.333333......とは思っていません。
表示しきれないものを表示するために切ってしまっているだけで、
0.333333...... × 3 = 0.999999......
になると思ってます。
  • 回答No.12
レベル10

ベストアンサー率 18% (28/153)

0.9999・・・・は1ですよ 数でないというのは悪い数学ですね そうゆう数学は誰も支持しません 単なる道楽です ...続きを読む
0.9999・・・・は1ですよ
数でないというのは悪い数学ですね
そうゆう数学は誰も支持しません
単なる道楽です
お礼コメント
100Gold

お礼率 64% (681/1059)

ご回答ありがとうございます。
私が数の定義をしっかりしていなかったところに問題があったようです。
失礼いたしました。
投稿日時 - 2002-01-14 14:57:51
  • 回答No.13
レベル12

ベストアンサー率 38% (192/498)

回答者No.2のon-drugさんも言っておられますが、明らかに矛盾した理論ですね、これは。 >言葉の定義で言うと1未満とは1を含まない1より小さい数であり、1以下とは1を含む1より小さい数であると理解しています。 これは間違っていません。 >しかし、1未満を1以外の1より小さい値を全て含むと考えると0.999....がその最大値となります。 確かにそうなのですが、(でも、それが最大値と ...続きを読む
回答者No.2のon-drugさんも言っておられますが、明らかに矛盾した理論ですね、これは。

>言葉の定義で言うと1未満とは1を含まない1より小さい数であり、1以下とは1を含む1より小さい数であると理解しています。
これは間違っていません。

>しかし、1未満を1以外の1より小さい値を全て含むと考えると0.999....がその最大値となります。
確かにそうなのですが、(でも、それが最大値と言えるかは疑問ですが・・・)

>その値を3で割れば0.333....となり、これは1/3です。
ここが間違っています。
確かに0.999....を3で割れば、0.333....となりますが、
0.333....=1/3
とはなりません。

1÷3=0.333....
となりますし、
0.999....÷3=0.333....
となります。

じゃあ、
1÷3=0.999....÷3
となるか?と考えれば、なりませんね。
これでは、
1=0.999....
となってしまします。
これはあきらかに間違っています。

厳密に言うと、
1÷3=0.333....
で書き表した0.333....と
0.999....÷3=0.333....
で書き表した0.333....は、同じ数字では無いと言うことです。
確かに書き表している数字は同じ0.333....です。
しかしこれは、割り切れないので便宜上0.333....書き表しているだけであって、同じ0.333....ではないのです。(見た目では同じように見えるのですが、どこまで行っても割り切れない数なのですから、同じ数であると判定することができないのです。)
100Goldさんは、ここでつまずいているようですね。

近似値として書くなら
0.333....≒1/3 
ですし、
0.999....≒1
です。

ですから、厳密に、正確に言って、
0.333....=1/3 
あるいは、
0.999....=1
となることはありません。
(ただ、小学校・中学校でおしえる初等数学では、近似値と言う概念をしっかり学習させていないので、0.333....=1/3と書く場合がありますがね。)
言っておきますが、割り切れない数(小数)を「分数に直す」という考え方をすること自体が間違っているのです。
分数で計算したものは、最後まで分数で計算する、小数で計算したものは、最後まで小数で計算する、という約束事のようなものが数学にはあるんですよ。そうしなければ、統一性がないでしょ。数学は、もっとも統一性を重んじる学問ですから、その統一性から離れた計算をすること自体間違っているのです。(まあ、小学校の算数では、分数を小数に直しなさいとか、小数を分数に直しなさい、なんて学習がありますが、こんなことやるのは小学校だけでしょうけどね。)

まあ、ご参考になさってみてください。
  • 回答No.11
レベル12

ベストアンサー率 43% (186/425)

0.999999......は「数」ではありません。したがって、 1未満を1以上の1より小さい値を全て含むとかんがえても、 0.9999999....が、その「最大値」にはなりません。 9は有限個ならんだものは1未満ですから、そのような「数」は 存在しますが、1未満の最大値というのは存在しません。 これは、実数の連続性と深くかかわっています。 (もうこの辺の説明は、最近何度もやってつか ...続きを読む
0.999999......は「数」ではありません。したがって、
1未満を1以上の1より小さい値を全て含むとかんがえても、
0.9999999....が、その「最大値」にはなりません。

9は有限個ならんだものは1未満ですから、そのような「数」は
存在しますが、1未満の最大値というのは存在しません。

これは、実数の連続性と深くかかわっています。
(もうこの辺の説明は、最近何度もやってつかれた。。。ぶつぶつ)
お礼コメント
100Gold

お礼率 64% (681/1059)

皆さんいろいろご回答ありがとうございます。皆さんの回答を総合すると1=0.999...ということには一定のコンセンサスがあるようですが、1以下=一未満ということには賛成できないと言うことのようですね。今度は別の視点から1以下=1未満の証明に関して考察してみましたので、そちらもご回答いただければ幸いです。
投稿日時 - 2002-01-14 02:51:27
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