最大値と最小値を求める数学の問題の解答
- 問題の解答において、与えられた式の最大値と最小値を求める方法を説明します。
- 式を変形し、頂点の座標を求めることで、最大値と最小値を求めることができます。
- 最大値は頂点が上向きに凸であるため、頂点のy座標が最大値となります。最小値は、sinXが0または1となる場合に得られる値です。
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数学の問題の解答の説明をお願いしますm(__)m
すみません、数学の問題で回答を見ても理解できないので、以下の問題について お尋ねいたします。 問 ０°≦Ｘ≦１８０°で定義された Ｙ＝－２sin二乗Ｘ＋２sinＸ＋１の最大値と最小値とそのときのＸの値を答えよ。 （参考書の解答）※少し省略して書いています sinＸをtとおく Ｙ＝－２t二乗＋２t＋１ ＝－２（ｔ－１／２）二乗＋３／２・・・(1) (i)t＝１／２すなわち sinＸ＝１／２→３０゜、１５０°のとき最大値３／２ ★★★ここから先の説明が分かりません★★★ (ii)sinＸ＝０または１のとき すなわち０°、９０°、１８０°のとき最小値１ 疑問な点 最大値は、(1)が上向きに凸なので、頂点が最大だと分かるのですが、 最小値のときになんで、０とか１が出てくるのかわかりません。 基礎的な知識が抜けておりますので、申し訳ありませんが、よろしく おねがいいたします。
- sibainudaisuki
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★★★ここから先の説明が分かりません★★★ (ii)sinＸ＝０または１のとき すなわち０°、９０°、１８０°のとき最小値１ > 疑問な点 > 最大値は、(1)が上向きに凸なので、頂点が最大だと分かるのですが、 > 最小値のときになんで、０とか１が出てくるのかわかりません。 ０°≦Ｘ≦１８０°で定義された Ｙ＝－２sin二乗Ｘ＋２sinＸ＋１ ｔ＝sinＸとおくと ０°≦Ｘ≦１８０°より、０≦ｔ≦１ だから、この範囲の端の値（ｔ＝０、ｔ＝１）についても ｙの値をも求めて、最小値をどちらかに決めます。 （どちらかが最小値になることは、グラフの形からも分かります。） ｙ＝－２ｔ^2＋２ｔ＋１ ｔ＝０のとき、ｙ＝１、ｔ＝１のとき、ｙ＝－２×１＋２×１＋１＝１ ｔ＝０のときもｔ＝１のときもｙ＝１なので、この場合はどちらも最小値で、１と考えます。 ｔ＝sinＸ＝０より、ｘ＝０°、１８０°、ｔ＝sinＸ＝１ より、ｘ＝９０° よって、sinＸ＝０または１のとき すなわちＸ＝０°、９０°、１８０°のとき最小値１
その他の回答 (1)
０°≦Ｘ≦１８０°なので、t=sinxの範囲は0≦t≦1です。この範囲で Y=-2(t-1/2)^2+3/2 が最小になるｔはどこかといえば、t=0または1になるのです。
お礼
ありがとうございました。たしかに、t=sinＸと範囲から考えたらおっしゃる通りですね。
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お礼
なるほど！よく分かりました。ありがとうございました。大変助かりました。