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x以下の双子素数の個数
素数定理から、x以下の素数の個数π(x)は(xが十分大きければ)、x/logx程度であると考える事ができます。 ここから、x自身が素数である"確率"(確率という言葉は適切ではないですが)は、1/logxと考える事ができます。 この部分には、いろいろな考え方がありますが、 例えば、x以下の自然数を取り出した時に、それが素数である確率は、π(x)/x=1/logxであり、xが十分大きければ、これをx自身が素数である"確率"と考えられるでしょう。 (x,x+2)の組が双子素数である、つまり、xとx+2が同時に素数となる"確率"は、 1/(logx)*(1/(log(x+2))≒1/(logx)^2 と考える事ができます。 すると、これを積分した、 ∫[x:2→x](1/(logx)^2))dx の値でx以下の双子素数の個数と見積もることができます。 と、考えました。ところが、 この積分で1,000,000以下の双子素数を見積もると、およそ950程度となります。(積分値を計算するソフトがないので、大雑把な値です) 一方、1,000,000以下の双子素数の個数は、1224個です。 けっこう大きな差がありますよね。1,000,000という値では小さすぎたのかな、とも思いましたが、ウィキペディアを見てみると、この辺りの話が載っていて、 x以下の双子素数の個数は、上の積分に、２Ｃをかけたもので見積もっています。 なお、Ｃ＝Π[p>2](1-1/(p-1)^2)≒0.6601ということだそうです。 実際に、この２Ｃをかけた値で、1,000,000以下の双子素数の個数を見積もってみると、およそ1250個となって、確かに、実際の値と非常に近い値となって、確かに２Ｃをかける事に意味はありそうなのですが、 いったい、このＣという値はどういう根拠がある数値なのでしょうか？ あるいは、∫[x:2→x](1/(logx)^2))dxでx以下の双子素数の個数を見積もった場合、どうして実際の数より小さくなるのでしょうか？ なお、厳密な(数学的な)議論である必要はありません。
- eatern27
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こんにちは、 興味あるテーマなので、考えてみました。 （当方は素人です。あらかじめお断りしておきますね） 任意の２つの数なら「独立事象（って言うんだっけ？）」なので個々の確率の掛け算で合成確率が求まりますが、この場合は、常に２つ離れた数なので、２つの事象に明らかな相関があります。 任意の２つの数の場合より、NとN+2の場合、一方が素数なら、他方も素数である確率はずっと高くなるはずです。（双方とも奇数または偶数であることは明白ですので、それだけでも、奇奇、偶奇、奇偶、偶偶を含む任意の値の組み合わせより優位ですよね、奇奇以外はＮＧなので、大雑把にいうと1/2と1/4の差ですかね？） その辺を考慮すると、0.66という数も出てくるかと思いますが、そこまではまだ、私も計算していません。（というか、できない） ＞なお、厳密な(数学的な)議論である必要はありません。 この一言がなければ、恥ずかしくて回答はしなかったと思いますが、御参考になれば幸いです。
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- sunasearch
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二つの事象の同時生起確率は、 P(A∩B)=P(A)×P(B) × P(A∩B)/P(A)P(B)と書けます。 AとBが独立の時には、P(A∩B)/P(A)P(B) = 1となりますが、 No.1さんのおっしゃられるように、今回の場合は互いに独立な事象とはいえないでしょう。 そこで、このP(A∩B)/P(A)P(B)に相当する値を見積もったものが、 2Cに相当するのだと思います。 また、ハーディ・リトルウッド予想と呼ばれているように、予想ですから証明は現在ないのでしょう。 見積もりの根拠はわかりませんが、 Cの式の形から、ある独立事象の積として見積もられている気がします。
お礼
＞Cの式の形から、ある独立事象の積として見積もられている気がします。 なるほど、確かにそうですね。 もしかしたら、(1-1/(p-1)^2)の項は、xとx+2が素数pで割り切れない確率に関係しているのかもしれませんね。 とすれば、x以下の素数pで割り切れるか否かを考えればよいので、 C(x)=Π[2<p<x](1-1/(p-1)^2) として、2C(x)をかけた方がよいのだけど、 xが十分大きければC(x)≒lim[x→∞]C(x)＝Ｃと近似できるから、 2Cをかけているのかもしれませんね。 ご回答どうもありがとうございました。
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