- ベストアンサー
x^xの積分の正式な求め方
x^xの積分の求め方で、exp(-k)置換積分法(正式にはどういうのかしりませんので私がかってに呼んでるだけですが・・・)で求めたら(x^2) logxになりましたが,どうも置換積分法にたよりすぎている気がします。 これ以外の方法はどういうのがあるでしょうか?webを見ても探しきれませんでした。 頭のリフレッシュということで30年ぶりに数学を再勉強中です。よろしくおねがいします。 A) 置換積分法によるx^x積分 x^x=exp(-k) 以下e(-k) で置換 x=e(-kx^-1), k=-log(x^x)=-xlog(x) なので ∫x^x dx = ∫e(-k) de (-kx^-1)/dk dk = ∫e(-k) (-xde(k)) dk = -∫xe(0) dk = -xk k=-xlog(x) なので ∫x^x dx = (x^2) logx
- sat999
- お礼率55% (5/9)
- 数学・算数
- 回答数2
- ありがとう数1
- みんなの回答 (2)
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
> ∫x^x dx = (x^2) logx 右辺を微分しても元に戻りませんから、間違いです。 x^x は積分不可能な関数です。 積分サイトで積分してみてください。積分できない関数という結果が返ってきます。 ttp://integrals.wolfram.com/index.jsp?expr=x%5Ex&random=false 数値積分なら可能かも知れませんが、初等関数や特殊関数を使っても積分結果を式的には表せません。
その他の回答 (1)
- koko_u_
- ベストアンサー率18% (459/2509)
とりあえず、微分してみようぜ。
関連するQ&A
- x^n (1/xを含む)の微積分の求め方
x^n(1/xを含む)の微積分の求め方で、1/xだけexpを使って積分しこれだけlog(x)となりますが、共通的にならないか・・・ということで、すべてexpで置換たらいいのではということで考えました。おおむね下記のような考えで丈夫でしょうか? 頭のリフレッシュということで30年ぶりに数学を再勉強中です。よろしくおねがいします。 A) x^n積分 x^n=exp(k) と置換 x=exp(k/n), k=log(x^n)=nlog(x) なので ∫1/x^n dx = ∫(1/exp(k)) dexp (k/n)/dk dk = ∫exp(-k)exp(k/n)/n dk = ∫exp(k(1-n)/n)/n dk ここで n=1 の場合は ∫(log(1),log(x)) exp(0)/n dk = ∫(0,log(x)) dk = log(x) ∫1/x dx = log(x) n=1 以外の場合は = (1/(1-n)) exp(k(1-n)/n) = (1/(1-n))exp((1-n)log(x)) = -(1/(n-1)) exp(-(n-1)log(x)) = -(1/(n-1)) exp(-log(x^(n-1))) ∫1/x^n dx = -(1/(n-1)) (1/x^(n-1)) n=-nと置換えると ∫x^n dx = (1/ (n+1)) x^(n+1) B) 微分も同じように x^n=exp(k) と置換 x=exp(k/n), k=log(x^n)=nlog(x) なので dx^n/dx = dexp(k) /dx = (dexp(k) /dk)(dk/dx) = exp(k) dlog(x^n)/dx = exp(k) n dlog(x)/dx = exp(k) n (1/x) x^n=exp(k) なので = n x^n /x^-1 = nx^(n-1)
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 積分の問題教えてください
積分の問題教えてください 1,部分積分 (1)∫xe^(2x) dx (2)∫xsin2x dx (3)∫(logx)/(x^3) dx (4)∫log(1+x) dx 2,置換積分 (1)∫(dx)/(2x+1)^3 (2)∫x((x^2)+1)^5 dx (3)∫x(e^(-x)^(2)) dx (4)∫cos^(3)xsinx dx (5)∫e^(x)cosx dx の9問です。 どうかお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 1/xlog(x)の積分について
1/xlog(x)を(1/x)(1/log(x))と考えて、部分積分しようと思ったところ、 1/xの積分はlog(x)、1/(log(x))の微分は-1/(x(log(x))^2)なので、 ∫(1/xlog(x))dx=log(x)(1/log(x)) - ∫log(x)(-1/(x(log(x))^2))dx =1 + ∫(1/xlog(x))dx となり、 0=1となってしまいます。 これはどこがおかしいのでしょうか。 私は計算ミスやうっかりミスが多いため、今回もその類かと思ったのですが ミスらしいミスが見当たりません。 どなたかご指摘お願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- この積分が出来なくて困っています
この積分が出来なくて困っています ∫x^4logXdx (積分区間は1→2の定積分です) 置換積分法が使えると思い、置換したのですが x^4を置換するか、logXを置換するのかがわかりません。 回答を見ると、32/2log2-31/25になるんですが 解法の指針もわかりません。 出来れば、どのように解くかの手順も教えてください。 回答宜しくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
回答ありがとうございます。 積分不能な関数だったのですね。 よくよく考えてみればxが消えずに入ってしまっているので循環というか入れ子というか積分不可能なことが理解できました。 今度からは教えていただいたサイトなどで良く確かめてから質問するようにします。