対数関数の積分

質問

こんばんは。数IIIの問題集に載っていた問題の解説がわからないので質問します。

問題：次の定積分の値を求めよ。
　　　e
　　∫（logx／ｘ）dx
　　　1
　　　　　e 　　　　　　　　　　e
解答：∫（logx／ｘ）dx＝∫｛logx（logｘ）'｝dx
　　　　 1 　　　　　　　　　　1
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　e
　　　　　　　　　　　＝[1/2（logｘ）^2] 　←※なぜです　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1
　　　　　　　　　　　＝1/2　

質問：※部分の式変形はどうなっているのでしょうか？解説をお願いします・

追伸：上記問題は、置換積分法で（logX＝ｔと置く）解くのが定石みたいですが、別解で上記解答が表示してありました。

回答No.3

exodus55 · ベストアンサー

他の人のところなんですが…。
f(g(x))'=g'(x)f'(g(x))　(合成関数の微分)
例を言えば、(sin(2x))'=(2x)'sin'(2x)=2cos2x
どうでしょうか？イメージで言うと中身の微分を全体の微分にかけるといったところでしょうか。

#2の方のは公式みたいな感じになっていますが、積分で出た値を微分すればもっと意味が分かるかもしれません。（本末転倒でしょうか…。）

お礼

回答ありがとうございます。
本で探したら、合成関数の導関数として、
「一般に、関数u=f(x),y=g(f(x))において、２つの関数f,gが微分可能であるとき、
dy/dx=(dy/du)・(du/dx)
として導関数を求めることができる。」
とありましたので、このことでしょうか？

回答に感謝いたします。

回答No.4

age_momo

#2です。#1,3さんが回答されていますが、合成関数の導関数の
例題でよく、

y=(x^2+3x+4)^4の導関数を求めなさい。

といったような問題があると思います。これは
y'=4(x^2+3x+4)^3*(2x+3)
となります。()の中身がx^2+3x+4のような形でもいいし、
この問題のようにlog(x)でも同様になります。例えば

y={log(x)}^4の導関数は
y'=4{log(x)}^3*{log(x)}'=4{log(x)}^3/x
となります。これを逆に進めたのが問題の解答だと思います。

お礼

回答ありがとうございます。

回答に感謝いたします。

回答No.2

age_momo

[{f(x)}^2]'=2f'(x)f(x)　なので

f'(x)f(x)=1/2 *[{f(x)}^2]'
∫f'(x)f(x)dx=1/2 *{f(x)}^2

ぱっと見は気づきにくいですが、高校で習う微分の性質ですね。
f^nを微分するとn*f'*f^(n-1)になるのは。

お礼

回答ありがとうございます。参考にいたします。

＞f^nを微分するとn*f'*f^(n-1)になる

↑これがわかりません。解説していただけるとありがたいです。

回答No.1

exodus55

こんばんわ。

∫(e→1)((logx)/x)dx=Iとして
I=∫(e→1)(logx)(log)'dx=∫(e→1)(logx)^2dx-I　(積の微分の逆(?))
2I=∫(e→1)(logx)^2dx
∴I=1/2∫(e→1)(logx)^2dx

分かりますでしょうか?積の微分の逆というのは適切じゃないかもしれませんが…。すいません。

お礼

回答ありがとうございます。

本で探したら、数IIIの部分積分という名称で公式化されていました。
回答者さんには感謝いたします。