整式P'(x)＝(x-α)Q(x)の積分

質問

「P(x)を整式とした時、P'(x)が(x-α)で割り切れれば
P(x)＝{(x-α)^2}q(x)+c　となる。（cは定数）」
ことについて

整式P'(x)＝(x-α)Ｑ(x)　を積分することによっても
P(x)＝{(x-α)^2}q(x)+c　となることを導けるはずだと思うのですが、
これがうまくできずに困っております。

Ｐ(x)＝∫P'(x)dx＝∫(x-α)Ｑ(x)dx＝1/2{(x-α)^2}Q(x)
　　　　　　　　　　　　　　　　　ー∫1/2{(x-α)^2}q(x)dx+c
　＝・・・・
2項目「∫1/2{(x-α)^2}q(x)dx」が{(x-α)^2}で割り切れれば解決なのですが、この先どうすればよいでしょうか？

よろしくお願い致します。

回答No.2

htms42 · ベストアンサー

＞Ｐ(x)＝∫P'(x)dx＝∫(x-α)Ｑ(x)dx
＝1/2{(x-α)^2}Q(x)－∫1/2{(x-α)^2}q(x)dx　+　c

Ｑ(x)とｑ(x)の関係は？

Ｐ(x)＝∫P'(x)dx＝∫(x-α)Ｑ(x)dx
＝1/2{(x-α)^2}Q(x)－∫1/2{(x-α)^2}Ｑ'(x)dx
です。（＋ｃは省略しました。）
Ｐ(x)が整式でしたからＱ(ｘ)も整式です。
Ｐ(x)の次数をｎとするとＱ(x)の次数はｎ－１です。
Ｑ'(x)はＱ(ｘ)より１つ次数が低いです。
これを繰り返します。
∫1/2{(x-α)^2}Ｑ'(x)dx
　＝(1/6)(ｘ－α)^3Ｑ'(ｘ)－(1/6)∫(ｘ－α)^3Ｑ''(ｘ)ｄｘ

部分積分を（ｎ－１）回繰り返すとＱ(ｘ)の（ｎ－１）回微分が定数になります。
これで証明ができます。

お礼

大変詳しいご回答どうもありがとうございます！
スッキリ解決しました！

回答No.1

koko_u_u

>P(x)＝{(x-α)^2}q(x)+c　となることを導けるはずだと思うのですが、

全然考えてないので、私にはできるかわかりませんが

>「∫1/2{(x-α)^2}q(x)dx」が{(x-α)^2}で割り切れれば

1つめの式に出てくる x と、2つめの式に出てくる x の意味が違うので
積分を定積分にして考えるべきでしょう。

補足

ご回答どうもありがとうございます。

積分に関しては部分積分の公式をそのまま使っただけのつもりですが、
おかしいでしょうか？

1つ目：1/2{(x-α)^2}Q(x)
2つ目：ー∫1/2{(x-α)^2}q(x)dx
のことでしょうか？

定積分を使うとはどのようにするのかもう少し説明していただけるとありがたいです。