• 締切済み

角運動量について

ω=(0,0,ω),r=(x,y,z) dr/dt=ω×r なんですが・・・ x成分:Ωy・z-Ωz・y=-Ωy y成分:Ωz・x-Ωx・z=Ωx z成分:Ωx・y-Ωy・x=0 ∴dr/dt=(-Ωy,Ωx,0) となるのがわかりません。

みんなの回答

  • ryn
  • ベストアンサー率42% (156/364)
回答No.1

Ωx,Ωy,Ωz はそれぞれ ω の x,y,z 成分なので, 今の場合  Ωx = 0, Ωy = 0, Ωz = ω です. 右辺が間違っていますが(ミスタイプ?) あとは代入するだけです. 正しくは  x成分:Ωy・z - Ωz・y = -ω・y  y成分:Ωz・x - Ωx・z = ω・x  z成分:Ωx・y - Ωy・x = 0 です. それともなぜ外積になっているのかがわからないということでしょうか?

関連するQ&A

  • 回転&運動座標系のベクトル

    運動座標系に対する運動方程式の計算の仕方がわからないので、お知恵をお借りしたく思います。ベクトルは大文字で示すことにさせてください。(ωもベクトル) 運動座標系 S' と慣性系 S があるとして、S'の原点の S系でのベクトルを R0 とし、S'系での質点の座標を R' とすると R=R0+R'でS系での座標があらわせ、 S系での速度は V= dR/dt = dR0/dt + dR'/dt となります。(ここまでは問題なし) S'系の単位ベクトル(I', J', K')を使うと、 dR'/dt = DR'/dt + ω x R' --- (1) となります。ただし、R'=x'I'+y'J'+z'K' としたとき DR'/dt= dx'/dt I' + dy'/dt J' + dz'/dt K' とします。 (ここまではたぶん理解できていると思います。もし、間違えていたらご指摘ください。) ここからがよくわからないのですが、 加速度ですが、 dV/dt = d^2R0/dt^2 + d^2R'/dt^2 より、後半の d^2 R'/d t^2 = D/dt(dR'/dt) + ω x dR'/dt ----(2) = D/dt(DR'/dt + ω x R') + ω x (DR'/dt + ω x R') ---- (3) = D^2 R'/dt^2 + 2ω x DR'/dt + ω x (ω x R') + Dω/dt x R' ----(4) (dω/dt = Dω/dt + ω x ω および ω x ω = 0 より) 以上より、 F = m dV / dt = m d^2R0/dt^2 + m d^2R'/dt^2 とすると m D^2 R'/dt^2 = m d^2 R'/d t^2 - 2 m ω x DR'/dt - m ω x (ω x R') - m Dω/dt x R' ----(5) = F - m d^2R0/dt^2 - 2 m (ω x DR'/dt) - m ω x (ω x R') - m dω/dt x R' とのことですが、(2) - (4) のあたりがよくわかりません。おしえていただけると助かります。 まず (2) は (1)にd/dt をかけたのだと思いますが、 d/dt (DR'/dt) -> D/dt(dR'/dt) になって、 d/dt (ω x R')-> ω x dR'/dt ということでよろしいのでしょうか? また、(4) は (3) を一つずつ、 D/dt(DR'/dt + ω x R') -> D^2R'/dt + Dω/dt x R' + ω x DR'/dt ω x (DR'/dt + ω x R') -> ω x DR'/dt + ω x (ω x R') としたのだと思いますが、 Dω/dt x R' は ω x R'とはならないでしょうか。 (d/dt (ω x R')-> ω x dR'/dtとは対照的に) よろしくお願いいたします。

  • 角速度・角加速度の求め方について教えてください

    こんにちは 単軸まわりの回転運動を考える場合、回転した角度θz(ここではZ軸周りとします)とすれば角速度ωz=dθz/dt、角加速度αz=dωz/dt=d^2θz/dt^2とあらわされると思います ではX,Y,Z軸で同時にθx, θy,θz回転している場合の角速度、角加速度はどのような表記になりますでしょうか? 微小時間で角度の増加が極めて小さければ、(ωx, ωy, ωz)=(dθx/dt, dθy/dt, dθz/dt)、(αx, αy, αz)=(d^2θx/dt^2, d^2θy/dt^2, d^2θz/dt^2) となると考えれば良いのでしょうか? 逆に微小時間での角度増加が大きい場合はどのように考えればよいのでしょうか?

  • 軌道角運動量の性質

    軌道角運動量の性質で 演算子表記されたLの成分が Lx=-i(y・d/dz-z・d/dy) Ly=-i(z・d/dx-x・d/dz) Lz=-i(x・d/dy-y・d/dx) の時に、p軌道の成分が Px=f(r)x Py=f(r)y Pz=f(r)z でf(r)はrのみの関数である時に、Lx等を作用させると LxPx=0 LxPy=ⅰPz LxPz=-iPy と簡単にもとまるとあるのですが これはどのように導出されるのでしょうか?

  • 軌道角運動量の極座標表示

    軌道角運動量の各成分を極座標表示しようとしています。 結果は分かっているんですが、途中の計算が分かりません・・。 Lx=-i*h/2π(y*∂/∂z - z*∂/∂y)で、 ∂/∂x = (∂/∂r)(∂r/∂x)+(∂/∂θ)(∂θ/∂x)+(∂/∂φ)(∂φ/∂x)という変換の式を使うと思うのですが、 これを計算してもうまくいきません。 自分では、計算の途中で(∂r/∂x)=(1/(∂x/∂r))としているところあたりが間違っているのではないかと思うのですが、 この操作はだめなんでしょうか? よろしくお願いします。

  • ローレンツ力場においての角運動量について

     電荷q[C]をもつ質量m[kg]の粒子がある。 その位置ベクトルを r = (x,y,z) (太字が出来ませんので、ベクトルと認識してください) とする。  粒子にはローレンツ力 (電場は考えない)    F = q(v×B)  がかかる。 と、こういう問題条件として、以下の問題がちょっと分からないので教えていただきたく思います。 (1) 角運動量 L = (Lx, Ly, Lz) が満たすべき 一階の微分方程式を導け。 (2) 磁場ベクトル B=(0,0,b) (bは定数)があるとして(つまりz軸方向の一様な磁場です)、初期条件を以下のように定める。    t=0 のとき、 Lx=0, Ly=L0 (L0は定数) このときの、(1)の微分方程式を解け。 といったものです。 問題条件だけ見ると、よくある一様磁場内での粒子の運動だと思いますし、粒子の与え方によっては螺旋回転運動をして、その回転角速度は    ω= qb / m になる・・ など教科書でよく取り上げられる程度の解は、私にも分かります。  まず、角運動量については、(1)の満たす一階の微分方程式というのはおそらく力のモーメントのことだと思いますので、    dL/dt = r × F       = r × q(v × B)       = q ( v(r・B) - B(r・v) )  …でよろしいのでしょうか。 さて(2)ですが、途中計算を省略しまして、各成分については、以下時間微分を dL/dt = L' のように表しますと v = ( x', y', z' ) としまして    Lx' = qb z y'    Ly' = qb z x'    Lz' = -qb ( x x' + y y' )  となりましたので、答え…ということでよろしいのでしょうか? 条件などで何か他の方程式になるような気もするのですが、有用であるような式を私には導き出せません。(多分これが間違っているからこの後が解けないような気もしています)  一応問題にはヒントとして、一階の微分方程式をもう一度両辺tで微分し、二階の微分方程式として解き、それから一階の微分方程式の解を求めると良い。 とあります。  (1)で求めたものを一応微分しましても、ヒントが恐らく言いたいだろう、まったく計算しやすいものとはいえない気がします。連立微分方程式でしょうが、ベクトルLとrが混じって(Lもvなどに直して計算していくという泥臭い方法でなら私にも解けるかもしれません)どのように解まで計算できるのか数学的にも少し分からない状態です。  以上に示しましたとおり、私が数学的な微分方程式の解法を十分理解していないだけなのかもしれませんが・・・どなたか分かる人がおられましたら教えていただきたく思います。  宜しくお願いします。

  • 角運動量演算子

    スピン1/2の粒子a,bがある。それぞれのスピン角運動量演算子をs1,s2とする。s1・s2(内積)の固有状態と固有値求めよ。という問題なんですが、s1・s2=(s1x)(s2x)+(s1y)(s2y)+(s1z)(s2z) =1/2((s1+)(s2-)+(s1-)(s2+))+(s1z)(s2z)…(1) ただし、s1,2x,y,zはそれぞれs1,2のx,y,z成分で、s1,2±は昇降角運動量演算子つまり、(s1,2±)=(s1,2x)±i(s1,2y)である。 (1)のように変形して考えるような気がするのですが、ここから先が分かりません。

  • 角運動量保存と運動方程式

    x = rcosθ, y = rsinθ のときrに関する運動方程式m・(d^2r/dt^2)をrとl(=mr^2(dθ/dt)角運動量)で表せ。 という問なのですが、もう行き詰りました。 どうやればいいんでしょうか。

  • divの問題

    B=ω×r ω=(ωx、ωy、ωz)r=(X,Y,Z)のときdivBはどうやってやるのでしょうか?成分計算でなくなるため計算できません。

  • 極座標の全微分

    dx/dt=(dx/dθ)(∂θ/∂t)+(dx/dr)(∂r/∂t) と表せますが dr/dt=(dr/dx)(∂x/∂t)+(dr/dy)(∂y/∂t) と表せないのはなぜですか? ご回答お願いします。

  • 運動方程式の成分表示

    運動方程式の成分表示 ある物体の運動方程式 Ma=F を成分表示にする問題ですが、 どのような状態が成分表示なのか分かりません。とりあえず、自分でやった解答を載せます。 (解答) F=Xi+Yj+Zk (ただし、i,j,kは各方向の単位ベクトルとする。)とおく。 F=Ma F=M(d^2X/dt^2 i+d^2Y/dt^2 j+d^2Z/dt^2)-(1) 任意のベクトルAにおいて、 A=(Ax,Ay,Az)A より(1)から F=(d^2X/dt^2 ,d^2Y/dt^2 ,d^2Z/dt )A より この運動方程式の各方向の成分は (X方向)=d^2X/dt^2 (y方向)=d^2Y/dt^2 (z方向)=d^2Z/dt^2