軌道角運動量の性質

質問

軌道角運動量の性質で
演算子表記されたLの成分が
Lx=-i(y・d/dz-z・d/dy)
Ly=-i(z・d/dx-x・d/dz)
Lz=-i(x・d/dy-y・d/dx)
の時に、p軌道の成分が
Px=f(r)x
Py=f(r)y
Pz=f(r)z
でf(r)はrのみの関数である時に、Lx等を作用させると
LxPx=0
LxPy=ⅰPz
LxPz=-iPy
と簡単にもとまるとあるのですが
これはどのように導出されるのでしょうか？

回答No.2

connykelly · ベストアンサー

例としてLxPy=iPzをやってみます。
r=√(x^2+y^2+z^2)
p=x^2+y^2+z^2と置くとr=√p。rをxで偏微分する。合成関数の微分法を使って∂r/∂x=(∂r/∂p)(∂p/∂x)=(1/2)(1/√p)・2x=x/r，以下同様に
∂r/∂y=y/r，∂r/∂z=z/rとなります。これらを使うと
LxPy=-i(y・d/dz-z・d/dy)f(r)y=-i{y・d/dz(f(r)y)-z・d/dy(f(r)y)}
=-i{y[df(r)/dz・y+yf(r)dy/dz]-z[df(r)/dy・y+f(r)dy/dy]}
=-i{y[df(r)/dr・dr/dz+0]-z[df(r)/dr・dy/dr+f(r)]}
=-i{y[df(r)/dr・(z/r)]-z[df(r)/dr・(y/r)+f(r)]
=izf(r)
=iPz
後の関係式はご自分で導出ください。

お礼

connykellyさま

丁寧な回答ありがとうございます。
よく理解できました。
今後とも何かありましたらよろしくお願いいたします。

回答No.1

ryn

∂r/∂x を実際に計算すると x/r となることはすぐにわかります．
したがって，
　∂f/∂x = (df/dr)(∂r/∂x) = (x/r)*(df/dr)
のようになります．

あとは簡単に出来ると思うのでやってみてください．

お礼

rynさま

早速の回答ありがとうございました。
また機会がございましたらよろしくお願いいたします。